Question

[Vũ Văn Huy]

Cho tam giác ABC, ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Từ F kẻ đường thẳng song song với AD cắt ED tại I.

a) Chứng minh rằng IC//BE và IC=BE.

b) Cho biết AD⊥BE, chứng minh ICF là tam giác vuông và chu vi của tam giác này bằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của tam giác ABC.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Xét \(\Delta ABC\): \(D\)là trung điểm của \(BC\), \(E\)là trung điểm của \(AC\)\(\Rightarrow\)\(ED\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\).

\(\Rightarrow ED\)//\(AB\)và \(ED=\frac{1}{2}AB\). \(F\)là trung điểm của \(AB\)\(\Rightarrow ED=AF=FB=\frac{1}{2}AB\)

\(ED\)//\(AB\Rightarrow ED\)//\(AF\Rightarrow ID\)//\(AF\). Mà \(FI\)//\(AD\).

\(\Rightarrow FI=AD\)và \(ID=AF\)(Tính chất đoạn chắn)

Mà \(ED=AF\Rightarrow ED=ID\).

Xét \(\Delta EDB\)và \(\Delta IDC:\)

\(DB=DC\)

\(\widehat{EDB}=\widehat{IDC}\)(Đối đỉnh)     \(\Rightarrow\Delta EDB=\Delta IDC\)\(\left(c.g.c\right)\)

\(ED=ID\)

\(\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{CID}\)(2 góc tương ứng) và 2 góc này nằm ở vị trí so le trong \(\Rightarrow IC\)//\(BE\)

Đồng thời \(IC=BE\)(2 cạnh tương ứng)

b) \(AD\)//\(FI\Rightarrow\widehat{AGE}=\widehat{FHG}\Rightarrow\widehat{FHG}=90^0\)(Đồng vị). Mà \(BE\)//\(IC\)\(\Rightarrow\widehat{FHB}=\widehat{FIC}=90^0\)(Đồng vị)

\(\Rightarrow\Delta ICF\)là tam giác vuông tại \(I\).

Ta có: \(FI=AD\),\(IC=BE\)(cmt) \(\Rightarrow FI+IC+CF=AD+BE+CF\)(đpcm)