Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AP và DP. Ta có :
IK song song và bằng 1/2 AD hay bằng 1/2 BC.
KM = DM - DK = DC/2 - DP / 2 = PC/2
Mà \(\widehat{IKM}=\widehat{ADC}=\widehat{BCP}\)
\(\Rightarrow\Delta IKM\sim\Delta BCP\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{BPC}=\widehat{IMP}\)
Mà \(\widehat{BPC}=\widehat{ABP}\) (AB // PC) ; \(\widehat{ABP}=\widehat{AQR}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AR)
Do đó \(\widehat{IME}=\widehat{IQE}\Rightarrow\) Tứ giác IMQE nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{EIQ}=\widehat{EMQ}\)
Mà IE // AF (Đường trung bình) nên \(\widehat{IEQ}=\widehat{FAQ}\) (Đồng vị)
\(\Rightarrow\widehat{FAQ}=\widehat{FMQ}\) hay tứ giác AMQF nội tiếp.
Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác AQF đi qua A, M cố định.
Vậy tâm đường tròn thuộc đường trung trực của AM.
b) Ta có \(\widehat{EPR}=\widehat{BPC}=\widehat{ABP}=\widehat{AQE}\) nên \(\Delta EPR\sim\Delta EQP\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{EP}{EQ}=\frac{ER}{EP}\Rightarrow EP^2=ER.EQ\)
Vì AE là tiếp tuyến nên \(\widehat{EAR}=\widehat{AQE}\Rightarrow\Delta EAR\sim\Delta EQA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{EA}{EQ}=\frac{ER}{EA}\Rightarrow EA^2=EQ.ER\)
\(\Rightarrow EP^2=EA^2\Rightarrow EP=EA=EF\)
\(\Rightarrow\widehat{FAP}=90^o\Rightarrow\widehat{FMQ}=90^o\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung FQ)
\(\Rightarrow MQ\perp CD\)
Tự vẽ hình:
a) ta có: Nx là tiếp tuyến => \(\widehat{PNO}=90\)
d\(⊥\)AB=> \(\widehat{OMP}=90\)
=> tứ giác OMNP nội tiếp
b) Ta có: CO II MP ( cùng vuông góc với AB)
Tứ giác OMNP nội tiếp => \(\widehat{OPM}=\widehat{ONM}\) (1)
Tam giác cân OCN ( OC=ON=R) có: \(\widehat{OCN}=\widehat{ONM}\) (2)
Từ (1), (2) => \(\widehat{OPM}=\widehat{OCM}\)(**)
Từ (*), (**) => OCMP là hình bình hành
c) Xét \(\Delta OCN\)là tam giác cân
và \(\Delta MCD\)là tam giác cân ( do C,D đối xứng nhau qua AB) có chung góc C
=> \(\Delta OCN\)đồng dạng \(\Delta MCD\)
=>\(\frac{CN}{CD}=\frac{OC}{CM}\Rightarrow CN.CM=OC.CD=2R^2=const\)
Vậy CN.CM không đổi (ĐPCM)