Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. Tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ x = 1 có phương trình :
\(y=\left(m-2\right)\left(x-1\right)+3m-2=\left(m-2\right)x+3m\)
Yêu cầu của bài toán khi và chỉ khi \(\begin{cases}m-2=3\\2m\ne10\end{cases}\) vô nghiệm
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán
b. Ta có \(y'=3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}\right)+m-\frac{7}{3}=3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+m-\frac{7}{3}\)
Suy ra \(y'\ge m-\frac{7}{3}\)
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=\frac{2}{3}\) có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc có giá trị \(k=m-\frac{7}{3}\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow k.2=-1\Leftrightarrow\left(m-\frac{7}{3}\right).2=-1\Leftrightarrow m=\frac{11}{6}\)
Tập xác định \(D=R\backslash\left\{2-m\right\}\)
Ta có : \(y'=\frac{m^2-2m-1}{\left(x+m-2\right)^2}\)
a) Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường thẳng :
\(y=x+1\) khi \(y'\left(1\right)=-1\Leftrightarrow\frac{m^2-2m-1}{\left(x+m-2\right)^2}=-1\Leftrightarrow m=0;m=2\)
* Với m = 0 ta có phương trình tiếp tuyến \(y=-\left(x-1\right)-1=-x\)
* Với m = 2 ta có phương trình tiếp tuyến \(y=-\left(x-2\right)+3=-x+5\)
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
b) G\(m\ge1+\sqrt{2};m\le1-\sqrt{2}\)ọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm. Ta có \(y'\left(x_0\right)=-\frac{1}{2}\)
\(\frac{m^2-2m-1}{\left(x_0+m-2\right)^2}=-\frac{1}{2}\) (*)
Yêu cầu bài toán suy ra (*) vô nghiệm, điều đó xảy ra khi :
\(m^2-2m-1\ge0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m\ge1+\sqrt{2}\\m\le1-\sqrt{2}\end{array}\right.\)
Vậy giá trị cần tìm là \(m\le1-\sqrt{2};m\ge1+\sqrt{2}\)
Với m = 1, ta có \(\left(C_1\right):y=\frac{x+1}{x-1}\)
a. Gọi d là đường thẳng đi qua P, có hệ số góc k => \(d:y=k\left(x-3\right)+1\)
d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x+1}{x-1}=k\left(x-3\right)+1\\\frac{-2}{\left(x-1\right)^2}=k\end{cases}\) có nghiệm
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :
\(\frac{x+1}{x-1}=\frac{-2}{\left(x-1\right)^2}\left(x-3\right)+1\Leftrightarrow x=2\)
\(\Rightarrow k=-2\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến : \(y=-2x+7\)
b. Gọi d là đường thẳng đi qua A, có hệ số góc k : \(d:y=k\left(x-2\right)-1\)
d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x+1}{x-1}=k\left(x-2\right)-1\\\frac{-2}{\left(x-1\right)^2}=k\end{cases}\) có nghiệm
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :
\(\frac{x+1}{x-1}=\frac{-2}{\left(x-1\right)^2}\left(x-2\right)-1\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\)
* \(x=\sqrt{2}\Rightarrow k=-2\left(3+2\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến : \(y=-2\left(3+2\sqrt{2}\right)x+11+8\sqrt{2}\)
* \(x=-\sqrt{2}\Rightarrow k=-2\left(3-2\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến : \(y=-2\left(3-2\sqrt{2}\right)x+11-8\sqrt{2}\)
c. Ta có : \(y'=\frac{m^2-2m-1}{\left(x+m-2\right)^2}\)Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 vuông góc với đường thẳng\(y=x+1\Leftrightarrow y'\left(1\right)=-1\Leftrightarrow\frac{m^2-2m-1}{\left(m-1\right)^2}=-1\)\(\Leftrightarrow m=0;m=2\)
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\Delta_m\right)\) và \(\left(C_m\right)\) được viết thành :
\(\left(x+1\right)\left(x^2-3mx+2m^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-m\right)\left(x-2m\right)=0\)
\(\Rightarrow\) Giao điểm của \(\left(\Delta_m\right)\) và \(\left(C_m\right)\) gồm \(A\left(-1;-m-m^2\right);B\left(m;0\right)\) và \(C\left(2m;m^2\right)\), trong số đó, A là điểm duy nhất có hoành độ không đổi (khi m thay đổi)
Đặt \(f_m\left(x\right)=x^3-\left(3m-1\right)x^2+2m\left(m-1\right)x+m^2\)
Các tiếp tuyến của \(\left(C_m\right)\) tại B và C lần lượt là các đường thẳng :
\(\left(\Delta_B\right):y=f_m'\left(x_B\right)x+y_b-f_m'\left(x_B\right)x_B\)
\(\left(\Delta_C\right):y=f_m'\left(x_C\right)x+y_C-f_m'\left(x_C\right)x_C\)
Ta cần tìm m để B và C cùng khác A và \(\Delta_B\backslash\backslash\Delta_C\), tức là :
\(\begin{cases}x_B\ne x_A\\x_C\ne x_A\\f'_m\left(x_B\right)=f'_m\left(x_C\right)\\y_B-f'_m\left(x_B\right)x_B\ne y_C-f'_m\left(x_C\right)x_C\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne-1\\m\ne-\frac{1}{2}\\-m^2=2m^2+2m\\m^3\ne-4m^3-3m^2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=-\frac{2}{3}\)
Ta có \(M\left(-1;-2\right)\)
Phương trình của (C) tại M là \(\Delta:y=y'\left(-1\right)\left(x+1\right)-2\)
hay \(\Delta:y=9x+7\)
\(\Delta\) // d \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+5=9\\3m+1\ne7\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m=\pm2\\m\ne2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m=-2\)
a) y = 4 x 3 + x, y′ = 12 x 2 + 1 > 0, ∀ x ∈ R
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
b) Giả sử tiếp điểm cần tìm có tọa độ (x0; y0) thì f′(x0) = 12 x 0 2 + 1 = 13 (vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 3x + 1). Từ đó ta có: x0 = 1 hoặc x0 = -1
Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là y = 13x + 8 hoặc y = 13x - 8
c) Vì y’ = 12 x 2 + m nên m ≥ 0; y” = –6( m 2 + 5m)x + 12m
+) Với m ≥ 0 ta có y’ > 0 (khi m = 0; y’ = 0 tại x = 0).
Vậy hàm số (1) luôn luôn đồng biến khi m ≥ 0; y” = –6( m 2 + 5m)x + 12m
+) Với m < 0 thì y = 0 ⇔ 
Từ đó suy ra:
y’ > 0 với
y’ < 0 với
Vậy hàm số (1) đồng biến trên các khoảng
và nghịch biến trên khoảng
Hai điểm cực trị của \(\left(C_1\right)\) là : \(A\left(0;3\right);B\left(2;-1\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(2;-4\right)\)
Phương trình AB : \(2x+y-3=0\)
Ta có : \(y'=3x^2-6mx+3\left(m-1\right)\)
\(x_0=1\Rightarrow y_0=2m-1;y'\left(x_0\right)=-3m\)
Phương trình tiếp tuyến \(\Delta:y=-3m\left(x-1\right)+2m-1\)
hay \(3mx+y-5m+1=0\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\cos\left(AB;\Delta\right)=\cos60^0=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|6m+1\right|}{\sqrt{5\left(9m^2+1\right)}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow4\left(6m+1\right)^2=5\left(9m^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow99m^2+48m-1=0\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{-8\pm5\sqrt{3}}{33}\) là những giá trị cần tìm
Lời giải:
$y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)=0$
$\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0$
$\Leftrightarrow x=m+1$ hoặc $x=m-1$
Với $x=m+1$ thì $y=-2m-2$. Ta có điểm cực trị $(m+1, -2m-2)$
Với $x=m-1$ thì $y=2-2m$. Ta có điểm cực trị $m-1, 2-2m$
$f''(m+1)=6>0$ nên $A(m+1, -2m-2)$ là điểm cực tiểu
$f''(m-1)=-6< 0$ nên $B(m-1,2-2m)$ là điểm cực đại
$BO=\sqrt{2}AO$
$\Leftrightarrow BO^2=2AO^2$
$\Leftrightarrow (m-1)^2+(2-2m)^2=2(m+1)^2+2(-2m-2)^2$
$\Leftrightarrow m=-3\pm 2\sqrt{2}$