Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)
\(\Leftrightarrow-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0,\forall x\left(0;1\right)\)
\(\Leftrightarrow-2m\left(x-1\right)>x^2-2x+1,\forall x\in\left(0;1\right)\) (*)
Vì \(x\in\left(0;1\right)\Rightarrow x-1< 0\) nên (*) \(\Leftrightarrow-2m< \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1=g\left(x\right),\forall x\in\left(0;1\right)\)
\(\Leftrightarrow-2m\le g\left(0\right)=-1\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)
\(f\left(x\right)=x^2-2\left(m-1\right)x+m-2\)
Yêu cầu bài toán thõa mãn khi \(f\left(x\right)=0\) có hai nghiệm thỏa mãn \(x_1\le1< 3\le x_2\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-3m+3\ge0\\f\left(1\right)\le0\\f\left(3\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in R\\-m+1\le0\\15-5m\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m\ge3\)
a) Với \(x\in\left[0;1\right]\) => x - 2 < 0 => |x - 2| = - (x -2)
Khi đó, \(f\left(x\right)=2\left(m-1\right)x+\frac{m\left(x-2\right)}{-\left(x-2\right)}=2\left(m-1\right)x-m\)
Để f(x) < 0 với mọi \(x\in\left[0;1\right]\) <=> \(2\left(m-1\right)x-m
\(\Delta'=m^2-2m+3>0\) ; \(\forall x\)
Do đó bài toán thỏa mãn khi pt \(f\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm thỏa mãn: \(x_1< -1< 2< x_2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.f\left(-1\right)< 0\\a.f\left(2\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1.\left(1-2m+2m-3\right)< 0\\1\left(4+4m+2m-3\right)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow6m+1< 0\Rightarrow m< -\dfrac{1}{6}\)
Lời giải:
\(y>0\Leftrightarrow (m-2)x+3>0 \Leftrightarrow (m-2)x>-3\) \((1)\)
\(\bullet\) Xét \(m-2>0\)
\((1)\Leftrightarrow x>\frac{-3}{m-2}\forall x\in [-1;3]\)
Để đạt được điều này thì \(\frac{-3}{m-2}< x_{\min}\Leftrightarrow \frac{-3}{m-2}< -1\)
\(\Leftrightarrow -3<2-m\Leftrightarrow m< 5\)
Như vậy, \(2< m< 5\) thỏa mãn
\(\bullet\) Xét \(m-2< 0\)
\((1)\Leftrightarrow x< \frac{-3}{m-2}\forall x\in [-1;3]\) (số âm thì khi nhân hay chia đều phải đối dấu)
\(\Leftrightarrow \frac{-3}{m-2}> x_{\max}=3\)
\(\Leftrightarrow -3< 3(m-2)\Leftrightarrow m>1\)
Như vậy \(1< m< 2\) thỏa mãn
\(\bullet m-2=0\) \(\Leftrightarrow m=2\Rightarrow y=3>0\forall x\in [-1;3]\)
Vậy để \(y>0\forall x\in [-1;3]\Rightarrow 1< m< 5\)