Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a^3}{a^2+b^2+ab}=\frac{a^4}{a\left(a^2+b^2+ab\right)}=\frac{a^4}{a^3+ab^2+a^2b}=\frac{a^4}{a^3+ab\left(a+b\right)}\\\frac{b^3}{b^2+c^2+bc}=\frac{b^4}{b\left(b^2+c^2+bc\right)}=\frac{b^4}{b^3+bc^2+b^2c}=\frac{b^4}{b^3+bc\left(b+c\right)}\\\frac{c^3}{c^2+a^2+ca}=\frac{c^4}{c\left(c^2+a^2+ca\right)}=\frac{c^4}{c^3+ca^2+c^2a}=\frac{c^4}{c^3+ca\left(c+a\right)}\end{cases}}\)
Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành :
\(\frac{a^4}{a^3+ab\left(a+b\right)}+\frac{b^4}{b^3+bc\left(b+c\right)}+\frac{c^4}{c^3+ca\left(c+a\right)}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\)
Dễ dàng phân tích \(a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
=> \(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
Xét bất đẳng thức phụ : 3( a2 + b2 + c2 ) ≥ ( a + b + c )2
<=> 3a2 + 3b2 + 3c2 - a2 - b2 - c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 ≥ 0 ( đúng )
Khi đó áp dụng vào bài toán ta có : \(VT\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}=\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{3}\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
bài này mới được thầy sửa hồi chiều nè @@
Vì a,b dương => ( a + b ) ( a - b )2 \(\ge\)0 => a3 + b3 \(\ge\)ab ( a + b )
BĐT tương đương với 3a3\(\ge\)2a3 + 2ab ( a + b ) - b3 = 2a3 + 2a2b + 2ab2 - a2b - ab2 - b3 = ( a2 + ab + b3 ) ( 2a - b )
Suy ra : \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{2a-b}{3}\)(1)
Chứng minh tương tự ta được : \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{2b-c}{3}\)(2) ; \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{2c-a}{3}\)(3)
Từ (1) ; (2) và (3) => \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)(đpcm)
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{c^4}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{\left(b^2\right)^2}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{\left(c^2\right)^2}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số cho vế trái
\(\Rightarrow\frac{\left(a^2\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{\left(b^2\right)^2}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{\left(c^2\right)^2}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+a^2c}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a^2\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{\left(b^2\right)^2}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{\left(c^2\right)^2}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^3+a^2b+a^2c\right)+\left(b^3+b^2c+ab^2\right)+\left(c^3+c^2a+bc^2\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a^2\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{\left(b^2\right)^2}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{\left(c^2\right)^2}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2\left(a+b+c\right)+b^2\left(a+b+c\right)+c^2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a^2\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{\left(b^2\right)^2}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{\left(c^2\right)^2}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
Chứng minh rằng: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)( đpcm )
Vậy \(\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
Vì \(\frac{\left(a^2\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{\left(b^2\right)^2}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{\left(c^2\right)^2}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a^2\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{\left(b^2\right)^2}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{\left(c^2\right)^2}{c^3+c^2a+a^2c}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\) ( đpcm )
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
Cho a , b , c là các số thực dương tùy ý . Chứng minh rằng :
Bài làm:
Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\)
\(=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{c+a}\)
\(=\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\right)+\left(\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}\right)\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)(Cauchy Schwars)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2\left(a+b\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{2\left(b+c\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{2\left(c+a\right)}\)
\(\ge\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}\ge\frac{12\left(ab+bc+ca\right)}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\)( rút gọn 12/4)
Bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
\(A=\frac{\frac{1}{2}a^2\left(\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}+1\right)\left[\left(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{c}\right)^2+\left(\sqrt[3]{b}-1\right)^2+\left(\sqrt[3]{c}-1\right)^2\right]}{2\left(a+2\right)\left(a+\sqrt[3]{bc}\right)}\ge0\)
\(\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}=\Sigma_{cyc}A+\Sigma_{cyc}\frac{2\left(a-1\right)^2}{3\left(a+2\right)}+\frac{5}{6}\left(a+b+c\right)-1\ge\frac{5}{6}\left(a+b+c\right)-1=\frac{3}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\)\(\ge\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)
Chứng minh rằng : \(\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow18\ge3\left(3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}\right)\)
\(\Leftrightarrow18\ge9+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}+3\sqrt[3]{ab}\)
\(\Leftrightarrow9\ge3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+1\ge3\sqrt[3]{ab}\\b+c+1\ge3\sqrt[3]{bc}\\c+a+1\ge3\sqrt[3]{ca}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)+3\ge3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}\)
\(\Rightarrow9\ge3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}\left(đpcm\right)\)
Vì \(\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{3}{2}\)
Mà \(\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT=\frac{a^4}{a\left(a^2+ab+b^2\right)}+\frac{b^4}{b\left(b^2+bc+c^2\right)}+\frac{c^4}{c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
\(\ge\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{3}=VP\)
ta có
A=\(\frac{a^4}{ab^2+abc+c^2a}+\frac{b^4}{bc^2+abc+ba^2}+\frac{c^4}{ca^2+abc+cb^2}\)
>=\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab^2+a^2b+bc^2+cb^2+ca^2+ac^2+3abc}\) =\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\) (Đấy là bđt svacxơ nhé )
ta cần chứng minh \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\ge\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\)
điều này luôn đúng vì dễ dàng chứng minh \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca;\)
và \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{a+b+c}{\sqrt{3}}\)
đến đây bạn nhân vào sẽ ra ĐPCM
dáu = xảy ra <=> a=b=c>0
Let \(D=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\). Clearly \(D>0\). We show that the difference between the left-hand side and the right-hand of the inequality is non-negative
\(\frac{a^2+bc}{b+c}-a+\frac{b^2+ca}{c+a}-b+\frac{c^2+ab}{a+b}-c\)
\(=\frac{a^2+bc-ab-ac}{b+c}+\frac{b^2+ac-ab-bc}{a+c}+\frac{c^2+ab-ac-bc}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{b+c}+\frac{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}{a+c}+\frac{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a^2-b^2\right)\left(a^2-c^2\right)+\left(b^2-a^2\right)\left(b^2-c^2\right)+\left(c^2-a^2\right)\left(c^2-b^2\right)}{D}\)
\(=\frac{a^4+b^4+c^4-b^2c^2-c^2a^2-a^2b^2}{D}\)
\(=\frac{\left(a^2-b^2\right)^2+\left(b^2-c^2\right)^2+\left(c^2-a^2\right)^2}{2D}\ge0\)
Equality holds if and only if \(a=b=c\)
Done !
Mỗi lần thấy bất đẳng thức kiểu này là mình mù đường không biết nên đi hướng nào luôn. Mình triển khai theo Cauchy nó ra loạn xạ luôn. hihi