Question

[N.T.M.D]

Cho các điểm D,E,F lần lượt nằm trên các cạnh BC,CA,AB của tam giác ABC sao cho \(\frac{DB}{DC}\)=\(\frac{EC}{EA}\)=\(\frac{FA}{FB}\).Gọi M,P lần lượt là trung điểm của BC,DF và kẻ FN // AC với N thuộc BC

a,CM M là trung điểm DN

b,CM MP // và bằng 1 nửa AE

c,Tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) Vì $FN\parallel AC$ nên áp dụng định lý Talet:

\(\frac{NC}{NB}=\frac{FA}{FB}=\frac{DB}{DC}\)

Nếu $NB=DC$ thì do $MB=MC$ nên $MB-NB=MC-DC$

$\Leftrightarrow MN=MD$ nên $M$ là trung điểm $DN$.

Nếu $NB\neq DC$ thì áp dụng TCDTSBN: $\frac{NC}{NB}=\frac{DB}{DC}=\frac{NC-DB}{NB-DC}=\frac{DC-NB}{NB-DC}=-1< 0$ (vô lý)

Vậy ta có đpcm. 

b) 

Vì $M$ là trung điểm $DN$, $P$ là trung điểm $DF$ nên $MP$ là đtb ứng với cạnh $FN$

$\Rightarrow MP\parallel FN$ và $MP=\frac{1}{2}FN(1)$ 

Mặt khác:

$FN\parallel AC\Rightarrow FN\parallel AE(2)$

$\frac{NC}{NB}=\frac{FA}{FB}=\frac{EC}{EA}$ nên theo Talet đảo thì $EN\parallel AB$ hay $EN\parallel AF(3)$

Từ $(2); (3)$ suy ra $AENF$ là hình bình hành nên $AE=FN(4)$

Từ $(1); (2);(4)$ suy ra $MP\parallel AE$ và $MP=\frac{1}{2}AE$ (đpcm)

c) Gọi $G$ là giao điểm $AM$ và $EP$. Theo định lý Talet:

$\frac{AG}{GM}=\frac{EG}{GP}=\frac{AE}{MP}=2$

$\Rightarrow \frac{AG}{AM}=\frac{EG}{EP}=\frac{2}{3}$

Do đó $G$ chính là trọng tâm của $ABC$ và $DEF$. Ta có đpcm. 

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: