K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
M
26 tháng 8 2023
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = ab + bc + ca + a^3 + b^3 + c^3 / 5(ab + bc + ca) + 1, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.
Đầu tiên, ta tính đạo hàm của biểu thức B theo a, b và c. Đạo hàm riêng của B theo a, b và c được tính như sau:
∂B/∂a = 3a^2 + b^3 + c^3 / 5(ab + bc + ca) + 1 - (a^3 + b^3 + c^3)(b + c) / (5(ab + bc + ca) + 1)^2 ∂B/∂b = a^3 + 3b^2 + c^3 / 5(ab + bc + ca) + 1 - (a^3 + b^3 + c^3)(a + c) / (5(ab + bc + ca) + 1)^2 ∂B/∂c = a^3 + b^3 + 3c^2 / 5(ab + bc + ca) + 1 - (a^3 + b^3 + c^3)(a + b) / (5(ab + bc + ca) + 1)^2
Tiếp theo, ta giải hệ phương trình ∂B/∂a = ∂B/∂b = ∂B/∂c = 0 để tìm các điểm cực trị của biểu thức B.
Sau khi tìm được các điểm cực trị, ta so sánh giá trị của B tại các điểm cực trị và tại các điểm biên của miền xác định để tìm giá trị nhỏ nhất của B.
Tuy nhiên, việc giải phương trình và tính toán các giá trị có thể làm cho quá trình này trở nên phức tạp và mất nhiều thời gian.
Do đó, để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B, ta có thể sử dụng phương pháp khác như phương pháp đặt tính chất của hàm để giải quyết bài toán này.
CM
1
15 tháng 2 2022
\(\dfrac{a^3}{a^2+bc}=a-\dfrac{abc}{a^2+bc}\ge a-\dfrac{abc}{2a\sqrt{bc}}=a-\dfrac{\sqrt{bc}}{2}\)
\(\dfrac{b^3}{b^2+ca}\ge b-\dfrac{\sqrt{ac}}{2};\dfrac{c^3}{c^2+ab}\ge c-\dfrac{\sqrt{ab}}{2}\)
\(\Rightarrow M\ge a+b+c-\left(\dfrac{\sqrt{ab}}{2}+\dfrac{\sqrt{bc}}{2}+\dfrac{\sqrt{ca}}{2}\right)=2022-\left(\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}\right)\)
\(do:\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le a+b+c\)
\(\Rightarrow M\ge2022-\dfrac{a+b+c}{2}=2022-\dfrac{2022}{2}=1011\)
\(min_M=2021\Leftrightarrow a=b=c=674\)
15 tháng 2 2022
có đoạn bạn sửa lại tí nhé tại lúc đầu mình đọc đề thành \(a+b+c=2022\)
\(M\ge a+b+c-\left(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}\right)\ge a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{2022}{2}=1011\)
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 12 2021
\(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)+1}{a+b+c-abc}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+1}{a+b+c-abc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow P\ge a+b+c+\dfrac{1}{a+b+c}\) (1)
\(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)+\left(b+c\right)\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(P=\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{1}{a+b+c}\left(\dfrac{a+b+c}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+c+b}{a+c}\right)\)
\(P=\dfrac{1}{a+b+c}\left(3+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\ge\dfrac{1}{a+b+c}\left(3+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\right)\)
\(P\ge\dfrac{1}{a+b+c}\left(3+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2}\right)=\dfrac{3}{a+b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow3P\ge\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{9}{a+b+c}\) (2)
Cộng vế (1) và (2):
\(\Rightarrow4P\ge\dfrac{5}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{10}{a+b+c}\ge2\sqrt{\dfrac{50\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}}=10\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;0\right)\) và các hoán vị
G
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 1 2021
Lời giải:
Tìm min:
Theo BĐT AM-GM thì: $P=a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$ hay $P\geq 9$
Vậy $P_{\min}=9$. Giá trị này đạt tại $a=b=c=\sqrt{3}$
-----------
Tìm max:
$P=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2-18$
Vì $a,b,c\geq 1$ nên:
$(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b$
Hoàn toàn tương tự: $bc+1\geq b+c; ac+1\geq a+c$
Cộng lại: $2(a+b+c)\leq ab+bc+ac+3=12$
$\Rightarrow a+b+c\leq 6$
$\Rightarrow P=(a+b+c)^2-18\leq 6^2-18=18$
Vậy $P_{\max}=18$. Giá trị này đạt tại $(a,b,c)=(1,1,4)$ và hoán vị
15 tháng 3 2021
Đặt a + b + c = t \(\left(3\ge t\ge\sqrt{3}\right)\).
Ta có \(P=\dfrac{t^2-3}{2}+3t=\dfrac{t^2+6t-3}{2}=\dfrac{\left(t-\sqrt{3}\right)\left(t+6+\sqrt{3}\right)+6\sqrt{3}}{2}\ge3\sqrt{3}\).
Đẳng thức xảy ra khi a = 0, b = \(\sqrt{3}\), c = 0.
H
13 tháng 4 2021
Cho phép mình giải max bài này ạ:
Ta có:
\(\sqrt{2a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\overset{cosi}{\le}\dfrac{a+b+a+c}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt{2b+ac}\le\dfrac{b+c+b+a}{2};\sqrt{2c+ab}\le\dfrac{c+a+c+b}{2}\)
\(\Rightarrow Q\le\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2}=2\left(a+b+c\right)=4\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
HN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 1 2022
\(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}=1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)
\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{ab+bc+ca}-2\)
Do \(a;b\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab\ge a+b-1=2-c\)
\(\Rightarrow ab+c\left(a+b\right)\ge2-c+c\left(3-c\right)=-c^2+2c+2=c\left(2-c\right)+2\ge2\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{9}{2}-2=\dfrac{5}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{5}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;0\right);\left(2;1;0\right)\)
Biểu thức B chỉ có GTLN, ko có GTNN