Question

[Nguyên Đoàn]

Cho a,b,c>0 thoả mãn:abc=1

Chứng minh 1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)<=1/2

Answer 1

[Phước Nguyễn]

Áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  cho từng cặp số không âm, ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab\)  \(\left(1\right)\)

\(b^2+1\ge2b\)  \(\left(2\right)\)

Cộng  \(\left(1\right)\)  và  \(\left(2\right)\)  vế theo vế, ta được:

\(a^2+2b^2+1\ge2ab+2b\)

\(\Rightarrow\)  \(a^2+2b^2+3\ge2ab+2b+2\)  

Vì hai vế của bất đẳng thức trên cùng dấu (do  \(a,b,c>0\)) nên ta nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức:

\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2ab+2b+2}\)  \(\left(1\right)\)

Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị  \(b\)  \(\rightarrow\)  \(c\)  \(\rightarrow\)  \(a\)  \(\rightarrow\)  \(b\), ta có:

\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\ge\frac{1}{2bc+2c+2}\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\ge\frac{1}{2ca+2a+2}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\), ta được:

\(VT\le\frac{1}{2ab+2b+2}+\frac{1}{2bc+2c+2}+\frac{1}{2ca+2a+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)  \(\left(\text{*}\right)\)  

Mặt khác, xét từng phân thức  \(\frac{1}{ab+b+1};\frac{1}{bc+c+1};\frac{1}{ca+a+1}\)  kết hợp với giả thiết đã cho, nghĩa là  \(abc=1,\)  ta có:

\(\frac{1}{ab+b+1};\)  \(\frac{1}{bc+c+1}=\frac{abc}{bc+c+abc}=\frac{ab}{ab+b+1}\)  và  \(\frac{1}{ca+a+1}=\frac{abc}{ca+a+abc}=\frac{bc}{bc+c+1}=\frac{bc}{bc+c+abc}=\frac{b}{ab+b+1}\)

Do đó,  \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}=1\)  \(\left(\text{**}\right)\)

Từ  \(\left(\text{*}\right)\)  và  \(\left(\text{**}\right)\)  suy ra  \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c\)