cho a,b,c>0 cm $\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\ge a+b+c$

AV

ank viet

4 tháng 11 2016

câu 1 :Cmr a)$\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$

b) $\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3$

câu 2 : cho a+b=1 .Cm $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}$

câu 3: cho a+b+c=1và a,b,c>0.CMR $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9$

câu 4 Tim max của : ab+2(a+b) ...biết a²+b²=1

#Toán lớp 10

2

KK

Kuro Kazuya

5 tháng 1 2017

Câu 2)

Ta có $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}$

$\Rightarrow\frac{b+1+a+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{3}$

Ta có $a+b=1$

$\Rightarrow\frac{3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{3}$

$\Rightarrow\frac{3}{\left(a+1\right)b+a+1}\ge\frac{4}{3}$

$\Rightarrow\frac{3}{ab+b+a+1}\ge\frac{4}{3}$

Ta có $a+b=1$

$\Rightarrow\frac{3}{ab+2}\ge\frac{4}{3}$

$\Leftrightarrow9\ge4\left(ab+2\right)$

$\Rightarrow9\ge4ab+8$

$\Rightarrow1\ge4ab$

Do $a+b=1\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1$

$\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab$

$\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab$

$\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0$

$\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0$ (đpcm )

Đúng(0)

KK

Kuro Kazuya

5 tháng 1 2017

Câu 3)

Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9$

Mà $a+b+c=1$

$\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9$

$\Rightarrow a+b+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{abc}\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$

$\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9.\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}$

$\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9$ (điều này luôn luôn đúng)

$\Rightarrow$ ĐPCM

Đúng(0)

AV

ank viet

4 tháng 11 2016

câu 1 :Cmr a)$\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$b) $\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3$câu 2 : cho a+b=1 .Cm $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}$câu 3: cho a+b+c=1và a,b,c>0.CMR $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9$câu 4 Tim max của : ab+2(a+b) ...biết a2+b2=1giúp...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

0

TK

Thiều Khánh Vi

16 tháng 8 2019

Cho a, b, c, d dương. CM: 1) $\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5}\ge\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}$ 2) $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$ 3) $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{d^2}+\frac{d^2}{a^2}\ge\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}$ 4)...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

2

TT

Trần Thanh Phương

16 tháng 8 2019

Làm tạm một câu rồi đi chơi, lát làm cho.

4)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

$VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Đúng(0)

T

tthnew

16 tháng 8 2019

2/ Cô: $\frac{2a}{b}+\frac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{a.a.b}{b.b.c}}=3\sqrt[3]{\frac{a^3}{abc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$

Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:

$3.VT\ge3.VP\Rightarrow VT\ge VP^{\left(Đpcm\right)}$

Đẳng thức xảy ra khi a = b= c

Đúng(0)

TN

Tú Nguyễn

13 tháng 2 2020

Cho a,b,c>0. CM các bđt sau:

a)$\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2$

b)$3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)$

c)$9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3$

#Toán lớp 10

1

T

tthnew

13 tháng 2 2020

a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:

$VT=\left(\frac{a^4}{a}+\frac{b^4}{b}+\frac{c^4}{c}\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

$\ge\frac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\left(a+b+c\right)^2$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

b) $VT-VP=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2+\left(c+a\right)\left(c-a\right)^2\ge0$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

c) Theo câu b và BĐT Cauchy-Schwarz:

$\Rightarrow3.3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)$

$\ge3\left(a+b+c\right)\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]=\left(a+b+c\right)^3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(0)

TN

Tú Nguyễn

13 tháng 2 2020

áp dụng bđt cô si có dc k

Đúng(0)

D

dbrby

31 tháng 7 2019

cho a,b,c>0

Cm: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$

#Toán lớp 10

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

31 tháng 7 2019

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}=\frac{c^2}{c^2(a+b)}+\frac{a^2}{a^2(b+c)}+\frac{b^2}{b^2(c+a)}+\frac{(\sqrt[3]{abc})^2}{2abc}$

$\geq \frac{(c+a+b+\sqrt[3]{abc})^2}{c^2(a+b)+a^2(b+c)+b^2(c+a)+2abc}=\frac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(0)

O

oooloo

21 tháng 6 2020

cho a,b,c > 0 . Cmr:

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}$

#Toán lớp 10

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

22 tháng 6 2020

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3ab}=\frac{2a}{3}-\frac{b}{3}$

Tương tự: $\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{2b}{3}-\frac{c}{3}$ ; $\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{2c}{3}-\frac{a}{3}$

Cộng vế với vế: $VT\ge\frac{a+b+c}{3}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(0)

D

dbrby

29 tháng 10 2019

cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c = 3. Cmr:

$\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\ge\frac{3}{2}$

#Toán lớp 10

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

30 tháng 10 2019

Copy paste lại bài hôm rồi, đỡ phải nghĩ:v

Ta chứng minh bổ đề sau: cho hai dãy số dương $a\ge b\ge c$ và $x\ge y\ge z$ thì $ax+by+cz\ge bx+cy+az$

Thật vậy, BĐT tương đương:

$\left(a-b\right)x+\left(b-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a-b\right)x-\left(a-b\right)y+\left(a-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0$

$\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)+\left(a-c\right)\left(y-z\right)\ge0$ (luôn đúng)

Áp dụng:

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\ge b\ge c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3\ge b^3\ge c^3\\\frac{1}{b^2+c^2}\ge\frac{1}{c^2+a^2}\ge\frac{1}{a^2+b^2}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P=\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\ge\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}+\frac{a^3}{a^2+b^2}$

Ta có: $\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}$

Thiết lập tương tự và cộng lại:

$P\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Đúng(0)

NV

Nguyễn Văn Kiệt

26 tháng 12 2019 - olm

cho a, b,c >0 CMR:

$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2$

#Toán lớp 10

0

PD

Phạm Dương Ngọc Nhi

12 tháng 2 2020

Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh :

$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{d^2}+\frac{d^3}{a^2}\ge a+b+c+d$

#Toán lớp 10

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

12 tháng 2 2020

Đặt vế trái là P

$\frac{a^3}{b^2}+b+b\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3b^2}{b^2}}=3a$

Tương tự: $\frac{b^3}{c^2}+2c\ge3b$ ; $\frac{c^3}{d^2}+2d\ge3c$; $\frac{d^3}{a^2}+2a\ge3d$

Cộng vế với vế:

$P+2\left(a+b+c+d\right)\ge3\left(a+b+c+d\right)$

$\Leftrightarrow P\ge a+b+c+d$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d$

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP