Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Gọi biểu thức đã cho là $P$. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P+\frac{29}{2}=\frac{4a}{b+c-a}+2+\frac{9b}{c+a-b}+\frac{9}{2}+\frac{16c}{a+b-c}+8\)
\(=\frac{2(a+b+c)}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}(a+b+c)}{c+a-b}+\frac{8(a+b+c)}{a+b-c}\)
\(=(a+b+c)\left(\frac{2}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}}{c+a-b}+\frac{8}{a+b-c}\right)\)
\(\geq (a+b+c).\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{9}{2}}+\sqrt{8})^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}=\frac{81}{2}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{81}{2}-\frac{29}{2}=26\) (đpcm)
Lời giải:
Ta có:
\(A=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\)
\(\Rightarrow A+\frac{29}{2}=\frac{4a}{b+c-a}+2+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{9}{2}+\frac{16c}{a+b-c}+8\)
\(A+\frac{29}{2}=\frac{2(a+b+c)}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}(a+b+c)}{a+c-b}+\frac{8(a+b+c)}{a+b-c}\)
\(A+\frac{29}{2}=(a+b+c)\left(\frac{2}{b+c-a}+\frac{\frac{9}{2}}{a+c-b}+\frac{8}{a+b-c}\right)\)
\(\geq (a+b+c).\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{9}{2}}+\sqrt{8})^2}{b+c-a+a+c-b+a+b-c}=\frac{81}{2}\)
(Áp dụng BĐT S.Vac -xơ)
\(\Rightarrow A\geq 26\)
Vậy \(A_{\min}=26\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{4}{2ab+a^2+b^2}=\frac{4}{a+b)^2}=4(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(1=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{3}{2ab}\geq 6(2)\)
\(a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}\geq \frac{(\frac{(a+b)^2}{2})^2}{2}=\frac{1}{8}\) \(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \frac{1}{16}(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P\geq 4+6+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{161}{16}\). Dấu bằng xảy ra tại $a=b=0,5$
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\geq 2. \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{8}{(x+y)^2}=\frac{9}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{80}{81xy}+5xy\geq 2\sqrt{\frac{80}{81}.5}=\frac{40}{9}\)
\(\frac{4}{3}=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{4}{9}\Rightarrow \frac{1}{81ab}\geq \frac{1}{36}\)
Cộng những BĐT vừa cm được ở trên với nhau:
\(\Rightarrow A\geq \frac{9}{2}+\frac{40}{9}+\frac{1}{36}=\frac{323}{36}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{323}{36}\Leftrightarrow a=b=\frac{2}{3}\)
b+c-a > 0
a + c - b > 0
a + b - c > 0
Đặt b + c - a = x ; a + c - b = y ; a + b - c = z
=> x + y / 2 = c
y+z/2 = a
x+z/2 = b
Khi đó , P = \(\frac{4\frac{\left(y+z\right)}{2}}{x}+\frac{9\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{16\frac{x+y}{2}}{z}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{4\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{y}+\frac{16\left(x+y\right)}{z}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}\right)+\left(\frac{4z}{x}+\frac{16x}{z}\right)+\left(\frac{9z}{y}+\frac{16y}{z}\right)\right]\)
Tới đây dễ rồi nha , áp dụng bđt cô - si nha anh
đề sai ở mẫu cuối nhé
đặt b + c - a = x ; a + c - b = y ; a + b - c = z
\(\Rightarrow a=\frac{y+z}{2};b=\frac{x+z}{2};c=\frac{x+y}{2}\)
\(\Rightarrow P=\frac{2\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{2y}+\frac{8\left(x+y\right)}{z}=\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y}+\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z}+\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z}\)
\(\ge6+8+12=26\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
\(P=\frac{2\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{2y}+\frac{8\left(x+y\right)}{z}\)
\(P=\left(\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y}\right)+\left(\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z}\right)+\left(\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z}\right)\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{18xy}{2xy}}+2\sqrt{\frac{16xz}{xz}}+2\sqrt{\frac{72yz}{2yz}}=26\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{2y}{3}=\frac{z}{2}\)
Xem thêm tại đây.
Câu hỏi của Trương quang huy hoàng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến