WR
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
22 tháng 1 2021
Do \(a,b,c\geq 0\) và \(a+b+c=1\) nên \(a,b,c\le1\).
Xét hiệu \(5a+4-\left(a+2\right)^2=a\left(1-a\right)\ge0\)
\(\Rightarrow5a+4\ge\left(a+2\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a+4}\ge a+2\).
Tương tự, \(\sqrt{5b+4}\ge b+2;\sqrt{5c+4}\ge c+2\).
Cộng vế với vế ta có \(T\ge a+b+c+6=7\).
Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = c = 0 và các hoán vị.
Vậy Min T = 7 khi a = 1; b = c = 0.
T
22 tháng 1 2021
Một ý tưởng để có được bất đẳng thức phụ \(\sqrt{5a+4}\ge a+2\forall0\le a\le1.\)
Do $0\leq a \leq 1$ nên $a\ge a^2.$
Ta có: \(\sqrt{5a+4}=\sqrt{a+4a+4+\ 4}\ge\sqrt{a^2+4a+4+4}=a+2\)
Ngoài ra còn một cách là giả sử \(\sqrt{5a+4}\ge ma+n\)
rồi đi chọn $m,n$ theo điểm rơi.
Không biết còn cách nào khác không nhỉ?
HT
0
9 tháng 7 2017
ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]
1 tháng 11 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(3=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Và
\(VT^2=\left(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\right)^2\)
\(\le\left(5a+4+5b+4+5c+4\right)\left(1+1+1\right)\)
\(\Leftrightarrow VT^2\le15\left(a+b+c\right)+36\)
Mà \(3\le a+b+c\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow VT^2\le15\left(a+b+c\right)+12\left(a+b+c\right)=27\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\le3\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\)
Ta có đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
AR
1
LG
8 tháng 1 2020
Đặt \(\left(\sqrt{5a+4};\sqrt{5b+4};\sqrt{5c+4}\right)=\left(x;y;z\right)\) \(\left(2\le x;y;z\le3\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=5\left(a+b+c\right)+12=5+12=17\)
Ta lại có: \(2\le x\le3\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)\le0\)\(\Rightarrow x^2-5x+6\le0\)
T/tự: \(y^2-5y+6\le0;z^2-5z+6\le0\)
Nên: \(\left(x^2-5x+6\right)+\left(y^2-5y+6\right)+\left(z^2-5z+6\right)\le0\)
\(\Rightarrow5\left(x+y+z\right)\ge x^2+y^2+z^2+18=17+18=35\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge7\)
Đẳng thức xảy ra khi: \(\left(x;y;z\right)=\left(2;2;3\right)\) và các hoán vị
Vậy MinT=7 đạt được khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
G
8 tháng 7 2019
Ta có: \(\hept{\begin{cases}a;b;c\ge0\\a+b+c=1\end{cases}}\Rightarrow0\le a;b;c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{cases}}\)
\(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\)
\(=\sqrt{a+4a+4}+\sqrt{b+4b+4}+\sqrt{c+4c+4}\)
\(\ge\sqrt{a^2+4a+4}+\sqrt{b^2+4b+4}+\sqrt{c^2+4c+4}=a+2+b+2+c+2=7\)
\("="\Leftrightarrow a;b;c\) là hoán vị của 0;0;1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 11 2019
Đặt \(\left(\sqrt{5a+4};\sqrt{5b+4};\sqrt[]{5c+4}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\le x;y;z\le3\\x^2+y^2+z^2=5\left(a+b+c\right)+12=17\end{matrix}\right.\)
Ta cần tìm GTNN của \(A=x+y+z\)
Do \(2\le x\le3\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x+6\le0\Leftrightarrow x\ge\frac{x^2+6}{5}\)
Hoàn toàn tương tự ta có: \(y\ge\frac{y^2+6}{5}\) ; \(z\ge\frac{z^2+6}{5}\)
Cộng vế với vế: \(x+y+z\ge\frac{x^2+y^2+z^2+18}{5}=7\)
\(\Rightarrow A_{min}=7\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;2;3\right)\) và các hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
18 tháng 3 2019
\(a;b;c\ge0;a+b+c=1\Rightarrow a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\)
\(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\)
\(=\sqrt{a+4a+4}+\sqrt{b+4b+4}+\sqrt{c+4c+4}\)
\(\ge\sqrt{a^2+4a+4}+\sqrt{b^2+4b+4}+\sqrt{c^2+4c+4}=\sqrt{\left(a+2\right)^2}+\sqrt{\left(b+2\right)^2}+\sqrt{\left(c+2\right)^2}\)
\(=a+b+c+2+2+2=7\)
\("="\Leftrightarrow a;b;c\) là hoán vị của (0;0;1)
31 tháng 8 2019
A=\(\sqrt{5a+1}+\sqrt{5b+1}+\sqrt{5c+1}\)(\(A\ge0\))
<=> \(A^2=\left(\sqrt{5a+1}+\sqrt{5b+1}+\sqrt{5c+1}\right)^2\)
Áp dụng bđt bunhiacopski có:
\(\left(1.\sqrt{5a+1}+1.\sqrt{5b+1}+1.\sqrt{5c+1}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(5a+1+5b+1+5c+1\right)\)
<=> \(A^2\le3\left(5a+5b+5c+3\right)=3.\left[5\left(a+b+c\right)+3\right]=3\left(5.1+3\right)=24\)(do a+b+c=1)
<=> \(A\le2\sqrt{6}\)
Dấu"=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy \(A\le2\sqrt{6}\)
Tìm trước khi hỏi :
Đề vòng 1 chuyên sư phạm 2016-2017 - Tài liệu - Đề thi - Diễn đàn Toán học
Witch Rose
Vì a,b,ca,b,c không âm và a+b+c=1a+b+c=1 nên 2≤t=√5c+4≤32≤t=5c+4≤3
Ta có:a,b≥0⇒25ab+20(a+b)+16≥20(a+b)+16a,b≥0⇒25ab+20(a+b)+16≥20(a+b)+16
⇔(5a+4)(5b+4)≥4(5a+5b+4)⇔(5a+4)(5b+4)≥4(5a+5b+4)
⇔(√5a+4+√5b+4)2≥(2+√5a+5b+4)2⇔(5a+4+5b+4)2≥(2+5a+5b+4)2
⇔√5a+4+√5b+4≥2+√9−5c=2+√13