K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

16 tháng 2 2020

Em thử nha, rất là thích BĐT :33

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta có :

\(Q=\frac{a+b}{ab}+\frac{ab}{a+b}=\left(\frac{a+b}{4ab}+\frac{ab}{a+b}\right)+\frac{3\left(a+b\right)}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{a+b}{4ab}\cdot\frac{ab}{a+b}}+\frac{3\left(a+b\right)}{4ab}\)

                                                                                                                      \(\ge2\cdot\frac{1}{2}+\frac{3\cdot2}{\left(a+b\right)^2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

Vậy : min \(Q=\frac{5}{2}\) tại \(a=b=1\)

22 tháng 8 2017

Ta có: (x−y)2=(x+y)2−4xy=2012−4xy

Như thế, để tìm GTNN,GTLN của xy, tương đương với việc ta tìm GTLN,GTNN của A=(x−y)2=(|x−y|)2 hay cần tìm GTLN,GTNN của |x−y|

Không mất tính tổng quát giả sử: x≥y thì: x≥101y≤100

Khi đó: |x−y|=x−y=x+y−2y=201−2y

Ta có: 1≤y≤100 nên: 1≤|x−y|=201−2y≤199

Lập luận đi ngược lại thì tìm được các cực trị

31 tháng 8 2017

bạn vào đây tham khảo nè 

Câu hỏi của Tuấn Anh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

hơi lằng nhằng 1 chút

\(P=\frac{a}{\sqrt{a+2c}+1}+\frac{b}{\sqrt{b+2a}+1}+\frac{c}{\sqrt{c+2b}+1}\)

áp dụng cô si ta có:

\(\left(\sqrt{a+2c}+1\right)^2\le2\left(a+2c+1\right)=2\left(2a+b+3c\right)\)

tương tự \(\Rightarrow P\ge\frac{a}{\sqrt{2\left(2a+b+3c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{2\left(2b+c+3a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{2\left(2c+a+3b\right)}}\)

mà \(\sqrt{2\left(2a+b+3c\right)}\le\frac{2a+b+3c+2}{2}=\frac{4a+3b+5c}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2a}{4a+3b+5c}+\frac{2b}{4b+3c+5a}+\frac{2c}{4c+3a+5b}\)

\(=\frac{2a^2}{4a^2+3ab+5ac}+\frac{2b^2}{4b^2+3bc+5ab}+\frac{2c^2}{4c^2+3ac+5bc}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)

4 tháng 11 2016

gia tri a=2 b=o 

5 tháng 11 2016

Rút gọn Q = a + b+ a+ b-6a/b - 6b/a + 9/a2 + 9/b                                                                                                                            = a2 - 6a/b + 9/b2 + b- 6b/a + 9/a+ a+ b 

                = ( a - 3/b )2 + (b - 3/a )2 + a+ b                                                                                                                                            = (a - 3/b )+ 2(ab - 3) + b2 + (b - 3/a)- 2(ab - 3) + a2                                                                                                                = (a - 3/b ) ^2 +2(a - 3/b)b + b^2 + (b - 3/a)^2 -2(b-3/a)a +a^2                                                                                                       =  (a -3/b +b )^2 + (b-3/a-a)^2                                                                                                                                                   = (2-3/b)^2 + (b-3/a-a)^2                                                                                                                                                           mik chỉ bik làm tới đây thôi bạn thông cảm mak hình như giá trị nhỏ nhất của Q là 25 tại a=3/2,b=1/2 hoặc a=3/2,b=1/2 

    

3 tháng 4 2021

Vì ( a - b )\(\ge\)\(\forall\)a,b \(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\). Mà ab = 4 \(\Rightarrow a^2+b^2\ge8\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\ge\frac{\left(a+b-2\right).8}{a-b}\)

Đặt t = a + b \(\Rightarrow t\ge4\)( Do \(a+b\ge2\sqrt{ab}=4\))

\(\frac{\left(t-2\right).8}{t}=\frac{8t-16}{t}=8-\frac{16}{t}\)

Vì \(t\ge4\Rightarrow\frac{16}{t}\le\frac{16}{4}\Rightarrow-\frac{16}{t}\ge-4\Rightarrow\left(8-\frac{16}{t}\right)\ge8-4=4\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\ge4\)Dấu '' = '' xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a,b=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)

Vậy \(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)min \(\Leftrightarrow a=b=2\)

26 tháng 4 2020

Áp dụng BĐT Cauchy ta được \(2\sqrt{bc}\le b+c\)=> \(\frac{a^2}{a+\sqrt{bc}}\ge\frac{2a^2}{2a+b+c}\)

Áp dụng BĐT tương tự ta được đẳng thức

\(\frac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\ge\frac{2a^2}{2a+b+c}+\frac{2b^2}{2b+c+a}+\frac{2c^2}{2c+a+b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta lại có

\(\frac{2a^2}{2a+b+c}+\frac{2a+b+c}{8}\ge a;\frac{2b^2}{2b+a+c}+\frac{2b+a+c}{8}\ge b;\frac{2c^2}{2c+a+b}+\frac{2c+a+b}{8}\ge c\)

Cộng theo vế ta được

\(\frac{2a^2}{2a+b+c}+\frac{2b^2}{2b+a+c}+\frac{2c^2}{2c+a+b}\ge\frac{3}{2}\)

Vậy MinP=\(\frac{3}{2}\)

26 tháng 4 2020

phần áp dụng BĐT lần 2 mình chưa hiều lắm

22 tháng 8 2017

Ta có: (x−y)2=(x+y)2−4xy=2012−4xy

Như thế, để tìm GTNN,GTLN của xy, tương đương với việc ta tìm GTLN,GTNN của A=(x−y)2=(|x−y|)2 hay cần tìm GTLN,GTNN của |x−y|

Không mất tính tổng quát giả sử: x≥y thì: x≥101y≤100

Khi đó: |x−y|=x−y=x+y−2y=201−2y

Ta có: 1≤y≤100 nên: 1≤|x−y|=201−2y≤199

Lập luận đi ngược lại thì tìm được các cực trị

dùng cô si thôi

\(a^4+b^2\ge2a^2b;b^4+c^2\ge2b^2c;c^4+a^2\ge2c^2a\)

\(a^2b^2+a^2\ge2a^2b;b^2c^2+b^2\ge2b^2c;c^2a^2+c^2\ge2c^2a\)

từ 2 cái trên =>\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)

đặt t=a2+b2+c2\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)

\(\Rightarrow\left[2\left(t-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{19}{2}\right]\left(t-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2t^3-8t^2-3t+27\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2t^3-3t+27}{2t^2}\ge4\Rightarrow P\ge4\)

31 tháng 10 2018

\(A=\frac{ab}{a+c+b+c}+\frac{bc}{a+b+a+c}+\frac{ca}{a+b+b+c}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)

Nên max A là \(\frac{1}{4}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

17 tháng 10 2020

Ta có: \(0< a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2,b^2,c^2< 3\Rightarrow a,b,c< \sqrt{3}< 2\)

Xét bất đẳng thức phụ: \(2a+\frac{1}{a}\ge\frac{1}{2}a^2+\frac{5}{2}\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2\left(2-a\right)}{2a}\ge0\)*đúng*

Áp dụng, ta được: \(P\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{5}{2}.3=9\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1