Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{\left(sina+cosa\right)^2-1}{cota-sina.cosa}=\frac{sin^2a+cos^2a+2sina.cosa-1}{\frac{cosa}{sina}-sina.cosa}=\frac{2sin^2a.cosa}{cosa-sin^2a.cosa}\)
\(=\frac{2sin^2a.cosa}{cosa\left(1-sin^2a\right)}=\frac{2sin^2a}{cos^2a}=2tan^2a\)
phần chứng minh biểu thức không phụ thuộc \(x\)
ta có : \(A=\dfrac{cot^2a-cos^2a}{cot^2a}+\dfrac{sinacosa}{cota}=\dfrac{cot^2a-cos^2a}{cot^2a}+\dfrac{cos^2a}{cot^2a}\)
\(=\dfrac{cot^2a-cos^2a+cos^2a}{cot^2a}=\dfrac{cot^2a}{cot^2a}=1\left(đpcm\right)\)
ý còn lại : xem lại đề nha bn
phần chứng minh đẳng thức
ta có : \(\dfrac{sin2a-2sina}{sin2a+2sina}+tan^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{2sinacosa-2sina}{2sinacosa+2sina}+tan^2\dfrac{a}{2}\)
\(=\dfrac{2sina\left(cosa-1\right)}{2sina\left(cosa+1\right)}+tan^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{cosa-1}{cosa+1}+tan^2\dfrac{a}{2}\)
\(=\dfrac{1-2sin^2\dfrac{a}{2}-1}{2cos^2\dfrac{a}{2}-1+1}+tan^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{-2sin^2\dfrac{a}{2}}{2cos^2\dfrac{a}{2}}+tan^2\dfrac{a}{2}\)
\(=-tan^2\dfrac{a}{2}+tan^2\dfrac{a}{2}=0\left(đpcm\right)\)
ta có : \(\dfrac{sina}{1+cosa}+\dfrac{1+cosa}{sina}=\dfrac{sin^2a+\left(1+cosa\right)^2}{sina\left(1+cosa\right)}\)
\(=\dfrac{sin^2a+cos^2a+2cosa+1}{sina\left(1+cosa\right)}=\dfrac{2cosa+2}{sina\left(cosa+1\right)}\)
\(=\dfrac{2\left(cosa+1\right)}{sina\left(cosa+1\right)}=\dfrac{2}{sina}\left(đpcm\right)\)
còn 2 câu kia để chừng nào rảnh mk giải cho nha
mk lm 2 câu còn lại nha
ta có : \(\dfrac{sin^2x}{sinx-cosx}-\dfrac{sinx+cosx}{tan^2x-1}=\dfrac{\left(1-cos^2x\right)\left(tan^2x-1\right)-\left(sin^2x-cos^2x\right)}{\left(sinx-cosx\right)\left(tan^2x-1\right)}\)
\(=\dfrac{tan^2x-sin^2x-sin^2x-sin^2x+cos^2x}{\left(sinx-cosx\right)\left(tan^2x-1\right)}=\dfrac{\dfrac{sin^4x}{cos^2x}-sin^2x-sin^2x+cos^2x}{\left(sinx-cosx\right)\left(tan^2-1\right)}\)
\(=\dfrac{tan^2x\left(sin^2x-cos^2x\right)-\left(sin^2x-cos^2x\right)}{\left(sinx-cosx\right)\left(tan^2x-1\right)}=\dfrac{\left(tan^2x-1\right)\left(sin^2x-cos^2x\right)}{\left(sinx-cosx\right)\left(tan^2x-1\right)}\)
\(=sinx+cosx\left(đpcm\right)\)
ta có : \(\dfrac{sin\left(a+b\right)sin\left(a-b\right)}{1-tan^2a.cot^2b}=\dfrac{sin\left(a+b\right)sin\left(a-b\right)}{1-\dfrac{sin^2a.cos^2b}{cos^2a.sin^2b}}\)
\(=\dfrac{sin\left(a+b\right)sin\left(a-b\right)}{\dfrac{cos^2a.sin^2b-sin^2a.cos^2b}{cos^2a.sin^2b}}=\dfrac{sin\left(a+b\right)sin\left(a-b\right).cos^2a.sin^2b}{-\left(sin^2a.cos^2b-cos^2a.sin^2b\right)}\)
\(=\dfrac{sin\left(a+b\right)sin\left(a-b\right).cos^2a.sin^2b}{-\left(\left(sina.cosb-cosa.sinb\right)\left(sina.cosb+cosa.sinb\right)\right)}\)
\(=\dfrac{sin\left(a+b\right)sin\left(a-b\right).cos^2a.sin^2b}{-sin\left(a-b\right)sin\left(a+b\right)}=-cos^2a.sin^2b\left(đpcm\right)\)
mk lm hơi tắc ! do tối rồi , mà mk lại đang ở quán nek nên không tiện làm dài . bạn thông cảm
Có \(ab+bc+ac=abc\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Áp dụng các bđt sau:Với x;y;z>0 có: \(\dfrac{1}{x+y+z}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\) và \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
Có \(\dfrac{1}{a+3b+2c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(b+c\right)}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}\right)\)\(\le\dfrac{1}{9}.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)=\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)
CMTT: \(\dfrac{1}{b+3c+2a}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{3}{c}+\dfrac{2}{a}\right)\)
\(\dfrac{1}{c+3a+2b}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}\right)\)
Cộng vế với vế => \(VT\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{6}{a}+\dfrac{6}{b}+\dfrac{6}{c}\right)=\dfrac{1}{36}.6\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=3
Có \(a+b=2\Leftrightarrow2\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le1\)
\(E=\left(3a^2+2b\right)\left(3b^2+2a\right)+5a^2b+5ab^2+2ab\)
\(=9a^2b^2+6\left(a^3+b^3\right)+4ab+5ab\left(a+b\right)+20ab\)
\(=9a^2b^2+6\left(a+b\right)^3-18ab\left(a+b\right)+4ab+5ab\left(a+b\right)+20ab\)
\(=9a^2b^2+48-18ab.2+4ab+5.2.ab+20ab\)
\(=9a^2b^2-2ab+48\)
Đặt \(f\left(ab\right)=9a^2b^2-2ab+48;ab\le1\), đỉnh \(I\left(\dfrac{1}{9};\dfrac{431}{9}\right)\)
Hàm đồng biến trên khoảng \(\left[\dfrac{1}{9};1\right]\backslash\left\{\dfrac{1}{9}\right\}\)
\(\Rightarrow f\left(ab\right)_{max}=55\Leftrightarrow ab=1\)
\(\Rightarrow E_{max}=55\Leftrightarrow a=b=1\)
Vậy...
\(tan^2a+cot^2a=\dfrac{sin^2a}{cos^2a}+\dfrac{cos^2a}{sin^2a}=\dfrac{sin^4a+cos^4a}{\left(sina.cosa\right)^2}=\dfrac{\left(sin^2a+cos^2a\right)^2-2\left(sina.cosa\right)^2}{\left(\dfrac{1}{2}.2sina.cosa\right)^2}\)
\(=\dfrac{1-\dfrac{1}{2}sin^22a}{\dfrac{1}{4}sin^22a}=\dfrac{8-4sin^22a}{2sin^22a}=\dfrac{8-2\left(1-cos4a\right)}{1-cos4a}=\dfrac{6+2cos4a}{1-cos4a}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1$
$\frac{9(a^2+1)}{4a}\geq \frac{9.2a}{4a}=\frac{9}{2}$
Cộng theo vế 2 BĐT:
$\frac{a}{a^2+1}+\frac{5(a^2+1)}{2a}\geq \frac{11}{2}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=1$
a)Có \(b^2+c^2-a^2=cosA.2bc\)
\(S=\dfrac{1}{2}bc.sinA\)\(\Rightarrow4S=2bc.sinA\)
\(\Rightarrow\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}=\dfrac{cosA.2bc}{2bc.sinA}=cotA\) (dpcm)
b) CM tương tự câu a \(\Rightarrow\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}=\dfrac{cosB.2ac}{2ac.sinB}=cotB\); \(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\dfrac{cosC.2ab}{2ab.sinC}=cotC\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow cotA+cotB+cotC=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}\)\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}\) (dpcm)
c) Gọi ma;mb;mc là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A;B;C của tam giác ABC
Có \(GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{4}{9}\left(m_a^2+m_b^2+m_b^2\right)\)\(=\dfrac{4}{9}\left[\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}+\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}+\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\right]\)
\(=\dfrac{4}{9}.\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\) (đpcm)
d) Có \(a\left(b.cosC-c.cosB\right)=ab.cosC-ac.cosB\)
\(=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}-\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}\)
\(=b^2-c^2\) (dpcm)
Sao ko thấy tham số m nào bạn nhỉ?
à dạ, em ghi nhầm đề :< nó phải là chứng minh mới đúng ạ