Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng Bat đẳng thức C.B.S dạng Angel
Dấu bằng xảy ra khi a=2;b=1;c=1
1)
Ta có: \(M=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{\sqrt{3\left(a+b\right)\left(a+b+4c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{\frac{3\left(a+b\right)+\left(a+b+4c\right)}{2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
2)
\(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}=\Sigma_{cyc}\frac{2a}{\sqrt[3]{2a\left(ab+1\right)^2}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{2a}{\frac{2a+\left(ab+1\right)+\left(ab+1\right)}{3}}=3\Sigma_{cyc}\frac{a}{ab+a+1}\)
Ta có bổ đề: \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=1\left(abc=1\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}\ge3\)
Trước hết bạn chứng minh : \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (Chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có : \(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{9}{6-\left(a+b+c\right)}\ge\frac{9}{6-\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}=\frac{9}{6-3}=3\)
Dễ thấy \(0< a,b,c< 2\)
Ta có:
\(\frac{1}{2-a}\ge\frac{a^2+1}{2}\Leftrightarrow a\left(a-1\right)^2\ge0\)
Tương tự với các cái tương tự, ta được:
\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{a^2+1+b^2+1+c^2+1}{2}=3\)(Đpcm)
Dấu = khi a=b=c=1
Biến đổi tương đương bất đẳng thức và chú ý đến \(x+y+z=1\)Ta được
\(\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\) ( trừ cả hai vế với (x+y+z)^2 )
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-z\right)^2}{z}+\frac{\left(y-x\right)^2}{x}+\frac{\left(z-y\right)^2}{y}\ge\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\frac{1}{x}-1\right)+\left(y-z\right)^2\left(\frac{1}{y}-1\right)+\left(z-x\right)^2\left(\frac{1}{z}-1\right)\ge0\)
Vì x + y + z = 1 nên 1/x; 1/y; 1/z > 1. Do đó bđt cuối cùng luôn đúng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=3\)
Cách trâu bò :
Ta có :
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{â^2}\ge3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\right):\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge3\)
+) \(ab+ac+bc=abc\Leftrightarrow a+b+c=6-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6-\left(ab+bc+ca\right)>0\\\left(a+b+c\right)^2=\left[6-\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\end{cases}}\)
Còn lại phân tích nốt ra rùi áp dụng bđt cauchy là ra . ( Mình cũng ko chắc biến đổi đoạn đầu đúng chưa , có gì bạn xem lại giùm mình sai bỏ qua )
\(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+ac+bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ab+ac+bc=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}ab=-ac-bc\\ac=-ab-bc\\bc=-ab-ac\end{cases}}\)
Ta có : \(a^2+2bc=a^2+bc+bc=a^2+bc-ab-ac=a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
CMTT ta có : \(\hept{\begin{cases}b^2+2ac=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\\c^2+2ab=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\end{cases}}\)
Thay vào A ta được :
\(A=\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(A=\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+\frac{-a+c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+\frac{a-b}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(A=\frac{b-c-a+c+a-b}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(A=\frac{0}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(A=0\)
1 .
Từ gt : \(2ab+6bc+2ac=7abc\)và \(a,b,c>0\)
Chia cả hai vế cho abc > 0
\(\Rightarrow\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)
Đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\2z+6x+2y=7\end{cases}}\)
Khi đó : \(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}\)
\(=\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}\)
\(\Rightarrow C=\frac{4}{2x+y}+2x+y+\frac{9}{4x+z}+4x+z+\frac{4}{y+z}+y+z\)\(-\left(2x+y+4x+z+y+z\right)\)
\(=\left(\frac{2}{\sqrt{x+2y}}-\sqrt{x+2y}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{4x+z}}-\sqrt{4x+z}\right)^2\)\(+\left(\frac{2}{\sqrt{y+z}}-\sqrt{y+z}\right)^2+17\ge17\)
Khi \(x=\frac{1}{2},y=z=1\)thì \(C=17\)
Vậy GTNN của C là 17 khi a =2; b =1; c = 1
2 .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :\(1+b^2\ge2b\)nên
\(\frac{a+1}{1+b^2}=\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\)
\(\ge\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+b^2}\ge a+1-\frac{ab+b}{2}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b+1}{1+c^2}\ge b+1-\frac{bc+c}{2}\left(2\right)\)
\(\frac{c+1}{1+a^2}\ge c+1-\frac{ca+a}{2}\left(3\right)\)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:
\(\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3+\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\left(^∗\right)\)
Mặt khác : \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2=9\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\ge0\)
Nên \(\left(^∗\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Chúc bạn học tốt !!!