Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử a1;a2;a3;a4;........;a50a1;a2;a3;a4;........;a50 là 50 số tự nhân khác nhau và 0<a1<a2<a3<........<a500<a1<a2<a3<........<a50
⇒1a1+1a2+1a3+1a4+.....+1a50≤11+12+13+.....+150⇒1a1+1a2+1a3+1a4+.....+1a50≤11+12+13+.....+150
<1+12+12+....+12=1+492=512<1+12+12+....+12=1+492=512 (mâu thuẫn giả thiết)
⇒⇒Trong 50 số trên có ít nhất 2 số bằng nhau
Giả sử 100 số đó đôi một khác nhau
Không mất tính tổng quát giả sử 0<a1<a2<a3<...<a1000<a1<a2<a3<...<a100
Vậy a1≥1;a2≥2;....;a100≥100a1≥1;a2≥2;....;a100≥100suy ra 1/a1+1/a2+...+1/a100≤1+12+13+...+11001a1+1a2+...+1a100≤1+1/2+1/3+...+1/100
⇒1/a1+1/a2+...+1/a100<1+1/2+1/2+...+1/2(99 phân số 1/2)
⇒1/a1+1/a2+...+1/a100<1/2.(2+99)=1/2.101=101/2trái với giả thiết.
Vì vậy điều giả sử sai, ta có điều phải chứng minh
Giả sử trong 100 số đó không có số nào bằng nhau a1 > a2>a3>.....a100
Mà a1,a2,a3,...,a100 thuộc Z
\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=\frac{101}{2}\)(vôlý)
Vậy có ít nhất 2 số bằng nhau trong dãy số trên
Giả sử 100 số đó đôi một khác nhau
Không mất tính tổng quát giả sử \(0< a_1< a_2< a_3< ...< a_{100}\)
Vậy \(a_1\ge1;a_2\ge2;....;a_{100}\ge100\)suy ra \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{100}}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{100}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}\)(99 phân số \(\frac{1}{2}\))
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{100}}< \frac{1}{2}.\left(2+99\right)=\frac{1}{2}.101=\frac{101}{2}\)trái với giả thiết.
Vì vậy điều giả sử sai, ta có điều phải chứng minh
Giải:
Ta có: a1 + a2 + a3 + ... + a49 + a50 + a51 = 0
Xét tổng: ( a1 + a2 ) + ( a3 + a4 ) + ...+ ( a49 + a50 ) = 1 . 25 = 25 ( vì có 25 cặp )
Tổng: a1 + a2 + a3 + ... + a49 + a50 + a51 = 0
hay: 25 + a51 = 0
a51 = 0 - 25
a51 = -25
Khi đó, ta thay: a50 + a51 = 1
bằng: a50 + ( -25 ) = 1
a50 = 1 - ( -25 )
a50 = 26
Vậy: a50 = 26
GIả sử trong 50 số không có 2 số nào bằng nhau. Cho a1>a2>a3>....>a50, do a1,a2,...,a50 là các số tự nhiên
\(\Rightarrow a_{50}\ge1,a_{49}\ge2,...,a_1\ge50.\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{50}}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{50}\)
\(\Leftrightarrow VT\le\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{11}+...+\frac{1}{20}\right)\)\(+\left(\frac{1}{21}+...+\frac{1}{30}\right)+\left(\frac{1}{31}+...+\frac{1}{40}\right)\)
\(+\left(\frac{1}{41}+...+\frac{1}{50}\right)\) (mỗi nhóm có 10 số hạng)
\(VT< 10+\frac{10}{11}+\frac{10}{21}+\frac{10}{31}+\frac{10}{41}< 10+1+\frac{1}{2}\)\(+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{145}{12}< \frac{51}{2}\)
=> Vô lí
=> đpcm
Giả sử \(a_1;a_2;a_3;a_4;........;a_{50}\) là 50 số tự nhân khác nhau và \(0< a_1< a_2< a_3< ........< a_{50}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+.....+\frac{1}{a_{50}}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.....+\frac{1}{50}\)
\(< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+....+\frac{1}{2}=1+\frac{49}{2}=\frac{51}{2}\) (mâu thuẫn giả thiết)
\(\Rightarrow\)Trong 50 số trên có ít nhất 2 số bằng nhau