K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
8 tháng 3 2021

Ta sẽ chứng minh \(P_{min}=1\)

TH1: \(xyz=0\)

\(\Rightarrow x^2y^2z^2=0\Rightarrow x^4+y^4+z^4=1\)

\(P=x^2+y^2+z^2\ge\sqrt{x^4+y^4+z^4}=1\)

TH2: \(xyz\ne0\) , từ điều kiện, tồn tại 1 tam giác nhọn ABC sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=cosA\\y^2=cosB\\z^2=cosC\end{matrix}\right.\)

\(P=cosA+cosB+cosC-\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\)

Ta sẽ chứng minh \(cosA+cosB+cosC-\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\ge1\)

\(\Leftrightarrow4sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}\ge\sqrt{2cosA.cosB.cosC}\)

\(\Leftrightarrow8sin^2\dfrac{A}{2}sin^2\dfrac{B}{2}sin^2\dfrac{C}{2}\ge cosA.cosB.cosC\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{8sin^2\dfrac{A}{2}sin^2\dfrac{B}{2}sin^2\dfrac{C}{2}}{8sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{C}{2}}\ge cotA.cotB.cotC\)

\(\Leftrightarrow tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}\ge cotA.cotB.cotC\)

\(\Leftrightarrow tanA.tanB.tanC\ge cot\dfrac{A}{2}cot\dfrac{B}{2}cot\dfrac{C}{2}\)

\(\Leftrightarrow tanA+tanB+tanC\ge cot\dfrac{A}{2}+cot\dfrac{B}{2}+cot\dfrac{C}{2}\)

Ta có:

\(tanA+tanB=\dfrac{sin\left(A+B\right)}{cosA.cosB}=\dfrac{2sinC}{cos\left(A-B\right)-cosC}\ge\dfrac{2sinC}{1-cosC}=\dfrac{2sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{C}{2}}{2sin^2\dfrac{C}{2}}=cot\dfrac{C}{2}\)

Tương tự: \(tanA+tanC\ge cot\dfrac{B}{2}\) ; \(tanB+tanC\ge cot\dfrac{A}{2}\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

Vậy \(P_{min}=1\) khi \(\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị hoặc \(\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

7 tháng 3 2021

TH1: Nếu có 1 số bằng 0, giả sử là z, khi đó ta có \(x^4+y^4=1\)

và \(P=x^2+y^2\ge\sqrt{x^4+y^4}=1\)

Dấu '=' xảy ra khi 1 số =0, một số = \(\pm1\)

TH2: Nếu các số đều khác 0

Từ giả thiết => tồn tại tam giác ABC nhọn sao cho

\(x^2=\cos A,y^2=\cos B,z^2=\cos C\)

\(P=\cos A+\cos B+\cos C-\sqrt{2\cos A\cos B\cos C}\)

\(=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}-\sqrt{2\cos A\cos B\cos C}\)

Ta chứng minh \(4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\ge\sqrt{2\cos A\cos B\cos C}\)  (1)

Ta có (1) \(\Leftrightarrow8\sin^2\frac{A}{2}\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}\ge\cos A\cos B\cos C\)

\(\Leftrightarrow\frac{8\sin^2\frac{A}{2}\sin^2\frac{B}{2}\sin^2\frac{C}{2}}{\sin A\sin B\sin C}\ge\frac{\cos A\cos B\cos C}{\sin A\sin B\sin C}\)

\(\Leftrightarrow\cot A\cot B\cot C\le\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\tan A\tan B\tan C\ge\cot\frac{A}{2}\cot\frac{B}{2}\cot\frac{C}{2}\)

\(\Leftrightarrow\tan A+\tan B+\tan C\ge\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2}\)  (2)

bđt (2) đúng vì \(\tan A+\tan B\ge2\cot\frac{C}{2}\)  và 2 bđt tương tự

Dấu '=' xảy ra khi tam giác đều \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge1\)

Dấu '=' xảy ra khi 2 số =0, một số \(=\pm1\)  hoặc \(x^2=y^2=z^2=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của P là 1

NV
7 tháng 4 2022

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x=mid\left\{x;y;z\right\}\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\le0\)

\(\Rightarrow x^2+yz\le xy+xz\)

\(\Rightarrow zx^2+yz^2\le xyz+xz^2\)

\(\Rightarrow P\le x^3+y^3+z^3+8\left(xy^2+xz^2+xyz\right)\)

\(\Rightarrow P\le x^3+y^3+z^3+3yz\left(y+z\right)+8\left(xy^2+xz^2+2xyz\right)\)

\(\Rightarrow P\le x^3+\left(y+z\right)^3+8x\left(y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow P\le x^3+\left(4-x\right)^3+8x\left(4-x\right)^2\)

\(\Rightarrow P\le8x^3-52x^2+80x+64\)

Tới đây, đơn giản nhất là khảo sát hàm \(f\left(x\right)=8x^3-52x^2+80x+64\) trên \(\left[0;4\right]\)

(Nếu ko khảo sát hàm, ta có thể tách như sau, tất nhiên là dựa trên điểm rơi có được từ việc khảo sát hàm):

\(\Rightarrow P\le\left(8x^3-52x^2+80x-36\right)+100\)

\(\Rightarrow P\le4\left(x-1\right)^2\left(2x-9\right)+100\)

Do \(0\le x\le4\Rightarrow2x-9< 0\Rightarrow P\le100\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;3;0\right)\) và 1 vài bộ hoán vị của chúng

5 tháng 6 2016

Từ \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{2\left(x-1\right)}{4}=\frac{3\left(y-2\right)}{9}=\frac{z-3}{4}\)  (Nhân cả tử và mẫu tỷ số thứ nhất với 2, tỷ số thứ hai với 3) 

\(\Rightarrow\frac{2x-2}{4}=\frac{3y-6}{9}=\frac{z-3}{4}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{2x-2}{4}=\frac{3y-6}{9}=\frac{z-3}{4}=\frac{2x-2+3y-6-z+3}{4+9-4}=\frac{2x+3y-z-5}{9}=\frac{95-5}{9}=10\)

Từ \(\frac{2x-2}{4}=10\Rightarrow2x-2=40\Rightarrow2x=42\Rightarrow x=21\)

Từ \(\frac{3y-6}{9}=10\Rightarrow3y-6=90\Rightarrow3y=96\Rightarrow y=32\)

Từ \(\frac{z-3}{4}=10\Rightarrow z-3=40\Rightarrow z=43\)

Khi đó x+y+z=21+32+43=96

 

 

5 tháng 6 2016

\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}\)

\(=>\frac{2\left(x-1\right)}{2.2}=\frac{3\left(y-2\right)}{3.3}=\frac{z-3}{4}\)

\(=>\frac{2x-2}{4}=\frac{3y-6}{9}=\frac{z-3}{4}\)

Theo t/c dãy rỉ số=nhau:

\(\frac{2x-2}{4}=\frac{3y-6}{9}=\frac{z-3}{4}=\frac{\left(2x-2\right)+\left(3y-6\right)-\left(z-3\right)}{4+9-4}\)\(=\frac{\left(2x+3y-z\right)+\left(-2-6+3\right)}{9}=\frac{95+\left(-5\right)}{9}=\frac{90}{9}=10\)

=>2x-2=10.4=>2x-2=40=>2x=42=>x=21

3y-6=10.9=>3y-6=90=>3y=96=>y=32

z-3=10.4=>z-3=40=>z=43

Vậy x+y+z=21+32+4396

 

18 tháng 2 2022

Nguyễn Thu Thủy Ngân

18 tháng 4 2022

What ???

 

16 tháng 10 2020

Vì \(x\ge1\Rightarrow x^2\ge x\)

Từ đó: \(P\ge\frac{x}{\left(x+y\right)^2+x}+\frac{x}{z^2+x}=x\left[\frac{1}{\left(x+y\right)^2+x}+\frac{1}{z^2+x}\right]\)

\(\ge x\cdot\frac{4}{\left(x+y\right)^2+x+z^2+x}=\frac{4x}{\left(x+y\right)^2+z^2+2x}\) (Cauchy Schwarz)

Lại có: \(\left(x+y\right)^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy=3\left(x+y+z\right)\)

\(\le3\sqrt{2\left[\left(x+y\right)^2+z^2\right]}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+z^2\le18\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{4x}{18+2x}=2-\frac{18}{x+9}\ge2-\frac{18}{1+9}=\frac{1}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)

Vậy Min(P) = 1/5 khi x = 1 ; y = 2 ; z = 3