1. Cho tam giác ABC vuông tại A. tia phân giác góc B cắt AC tại D. từ A kẻ AE vuông góc BD tại E và cắt BC tại M
A. chứng minh tam giác ABC bằng tam giác MBE
B. chứng minh DM vuông góc với BC
C .Kẻ AH vuông góc với BC tại I. Chứng minh AM là tia phân giác của góc IAC
câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A (góc A bé hơn 90 độ). vẽ tia phân giác AD của góc A (D thuộc BC)
A. chứng minh tam giác ABD bằng tam giác ACD
B. Vẽ đường trung tuyến của tam giác ABC cắt cạnh AC tại G. chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC
C. Gọi H là trung điểm của cạnh DC. qua h Vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh DC cắt cạnh AC tại E. Chứng minh tam giác DEC cân
D. Chứng minh ba điểm B, G, E thẳng hàng
Câu 3 Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC, Kẻ MH vuông góc với AC. Trên tia đối của tia MH đặt điểm K sao cho MK bằng MH
a. chứng minh tam giác MHC bằng tam giác MKB và BK vuông góc với KH
B. Chứng minh AB song song với HK và BK = AH.
C. Vẽ BH cắt AB tại g. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh ba điểm C, G, I thẳng hàng
câu4 Cho tam giác ABC vuông tại A. gọi M là trung điểm cạnh BC. trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
A . chứng minh tam giác MCD bằng tam giác MBD và AC song song với BD
B. Gọi I là trung điểm AM, J là trung điểm BM. AJ cắt BI tại G. Chứng minh tam giác GAB là tam giác cân
Câu 5 cho tam giác ABC vuông tại A (AB bé hơn AC). vẽ BD là tia phân giác của góc ABC (D thuộc AC). trên đoạn BC lấy điểm E sao cho BE bằng BA
a chứng minh tam giác ABD bằng tam giác EBD .Từ đó suy ra góc BED là góc vuông
b. tia ED cắt tia BA tại EF. Chứng minh tam giác BED cân
C. Chứng minh tam giác AFC bằng tam giác ECF
D.Chứng minh: AB + AC >DE+BC
câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường phân phân giác BD của tam giác ABC và E là hình chiếu của D trên BC
a. chứng minh tam giác ABD bằng tam giác EBD và AE vuông góc với BD
B. Gọi giao điểm của hai đường thẳng ED và BA là F. Chứng minh tam giác ABC bằng tam giác AFC
C. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt CF tại G. Chứng minh ba điểm B, D, G thẳng hàng
câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A (góc A bé hơn 90 độ). vẽ AD là phân giác của góc A (D thuộc BC)
A . Chứng minh tam giác ABD bằng tam giác ACD
B. lấy H là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia HC lấy điểm K sao cho HK = HC. Chứng minh rằng AK = BC
c. CH cắt AD tại G. Chứng minh (BA+BC)÷6 >GH
Bài 1:
a)
Ta có: AD=AH(gt)
mà D,A,H thẳng hàng
nên A là trung điểm của DH
Xét ΔDHC có
CA là đường trung tuyến ứng với cạnh DH(A là trung điểm của DH)
DE là đường trung tuyến ứng với cạnh CH(E là trung điểm của CH)
CA\(\cap\)AE={F}
Do đó: F là trọng tâm của ΔDHC(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
⇒\(CF=\frac{2}{3}AC\)
Ta có: CF+AF=AC(F nằm giữa A và C)
\(\Leftrightarrow AF=AC-CF=AC-\frac{2}{3}AC=\frac{1}{3}AC\)(đpcm)
b) Ta có: F là trọng tâm của ΔDHC(cmt)
⇔HF là đường trung tuyến ứng với cạnh DC của ΔDHC
mà HM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC của ΔDHC(M là trung điểm của DC)
và HM và HF có điểm chung là H
nên H,F,M thẳng hàng(đpcm)
c) Xét ΔHCD vuông tại H có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD(M là trung điểm của CD)
nên \(HM=\frac{1}{2}CD\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)
Ta có: HM là đường trung tuyến ứng với cạnh CD của ΔHCD(M là trung điểm của CD) và F là trọng tâm của ΔCHD(cmt)
nên \(HF=\frac{2}{3}HM\)
hay \(HM=\frac{3}{2}\cdot HF\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{3}{2}\cdot HF=\frac{1}{2}\cdot CD\)
\(\Leftrightarrow HF=\frac{1}{2}\cdot CD:\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\cdot CD\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\cdot CD\)(đpcm)
Bài 2:
a) Xét ΔDBC có
DI là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(I là trung điểm của BC)
DI là đường cao ứng với cạnh BC(Đường trung trực của BC cắt AC tại D)
Do đó: ΔDBC cân tại D(Định lí tam giác cân)
⇒DB=DC(3)
Ta có: AD=AE(gt)
mà D,A,E thẳng hàng
nên A là trung điểm của DE
Xét ΔBDE có
BA là đường trung tuyến ứng với cạnh DE(A là trung điểm của DE)
BA là đường cao ứng với cạnh DE(BA⊥AD, E∈AD)
Do đó: ΔBDE cân tại B(Định lí tam giác cân)
⇒BD=BE(4)
Từ (3) và (4) suy ra CD=BE(đpcm)
b) Ta có: \(\widehat{BDE}\) là góc ngoài đỉnh D của ΔBDC(\(\widehat{BDE}\) và \(\widehat{BDC}\) là hai góc kề bù)
\(\Leftrightarrow\widehat{BDE}=\widehat{C}+\widehat{DBC}\)(Định lí góc ngoài của tam giác)
mà \(\widehat{C}=\widehat{DBC}\)(hai góc ở đáy của ΔDBC cân tại D)
nên \(\widehat{BDE}=2\cdot\widehat{BCE}\)
mà \(\widehat{BDE}=\widehat{BEC}\)(hai góc ở đáy của ΔBDE cân tại B)
nên \(\widehat{BEC}=2\cdot\widehat{BCE}\)(đpcm)
c) Trên tia đối của tia IA lấy điểm G sao cho IA=IG
Xét ΔAIB và ΔGIC có
AI=GI(theo cách vẽ)
\(\widehat{AIB}=\widehat{GIC}\)(hai góc đối đỉnh)
IB=IC(I là trung điểm của BC)
Do đó: ΔAIB=ΔGIC(c-g-c)
⇒AB=CG(hai cạnh tương ứng)
Ta có: ΔAIB=ΔGIC(cmt)
⇒\(\widehat{ABI}=\widehat{GCI}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{ABI}\) và \(\widehat{GCI}\) là hai góc ở vị trí so le trong
nên AB//CG(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Ta có: AB//CG(cmt)
AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)
Do đó: CG⊥AC(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔABC vuông tại A và ΔCGA vuông tại C có
AC chung
AB=CG(cmt)
Do đó: ΔABC=ΔCGA(hai cạnh góc vuông)
⇒\(\widehat{BCA}=\widehat{GAC}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{BCE}=\widehat{GAC}\)
Ta có: \(\widehat{BEC}=2\cdot\widehat{BCE}\)(cmt)
mà \(\widehat{BCE}=\widehat{GAC}\)(cmt)
nên \(\widehat{BEC}=2\cdot\widehat{GAC}\)
mà \(\widehat{GAC}=\widehat{EAF}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{BEC}=2\cdot\widehat{EAF}\)(5)
Ta có: \(\widehat{BEC}\) là góc ngoài tại đỉnh E của ΔAEF(\(\widehat{BEC}\) và \(\widehat{FEA}\) là hai góc kề bù)
nên \(\widehat{BEC}=\widehat{EAF}+\widehat{EFA}\)(Định lí góc ngoài của tam giác)(6)
Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat{EAF}+\widehat{EFA}=2\cdot\widehat{EAF}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{EFA}=2\cdot\widehat{EAF}-\widehat{EAF}\)
hay \(\widehat{EFA}=\widehat{EAF}\)
Xét ΔEAF có \(\widehat{EFA}=\widehat{EAF}\)(cmt)
nên ΔEAF cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)
d) Ta có: \(\frac{AC}{BF}=\frac{AD+DC}{BE+EF}=\frac{AE+BD}{BD+EA}=1\)
nên AC=BF(đpcm)
ko có hình hả bn