Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nếu m=n ta có đpcm
Xét m \(\ne\)n ta đặt \(\hept{\begin{cases}m+n=2x\\m-n=2y\end{cases}\left(x;y\inℤ;x>0;y\ne0\right)}\)khi đó ta có: \(\hept{\begin{cases}m=x+y\\n=x-y\end{cases}\left(m,n>0\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y>0\\x-y>0\end{cases}\Rightarrow}x=\left|y\right|}\)
Do đó \(n^2-1⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow-\left(m^2-n^2-1\right)+m^2⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow m^2=k\left(m^2-n^2+1\right)\left(1\right)\left(k\inℤ\right)\)
Thay m=x+y; n=x-y ta có: (x+y)2=k(4xy+1)
<=> x2-2(2x-1)xy+y2-k=0 (*)
Phương trình (*) có 1 nghiệm là x thuộc Z nên có 1 nghiệm nữa là x1. Theo hệ thức Vi-et ta có:
\(\hept{\begin{cases}x+x_1=2\left(2k-1\right)\\xx_1=y^2-k\end{cases}\Rightarrow x;x_1\inℤ}\)
Nếu x1>0 => (x;y) là cặp nghiệm thỏa mãn (*)
=> x1>|y| => y2-k=xx1 > |y|2=y2 => k<0 => x1+x2=2(2k-1)<0 (mâu thuẫn)
Nếu x1<0 thì xx1=y2-k<0 => k>y2 => k>0 => 4xy+1>0 => y>0 ta có:
k=x12-2(2k-1)x1y+y2=x12+2(2k-1)|x1|y+y2> 2(2k-1) |x1|y >= 2(2k-1)>k (mâu thuẫn)
vậy x1=0 khi đó k=y2 và \(m^2-n^2+1=\left(\frac{m}{y}\right)^2\)nên |m2-n2+1| là số chính phương
a) Giả sử ước của M là số chẵn thì \(M=2.k\Leftrightarrow a^2+3a+1=2k\)
Ta thấy \(a^2+3a+1=a\left(a+1\right)+2a+1\)
a(a + 1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2. Vậy thì a(a + 1) + 2a chia hết cho 2.
Vì 2k chia hết cho 2, a(a + 1) + 2a cũng chia hết cho 2 nên 1 chia hết 2 (vô lý)
Vậy nên mọi ước của M đều là số lẻ.
b) Đặt \(a=5u+v\left(u\in N;0\le v\le4\right)\)
Khi đó \(M=\left(5u+v\right)^2+3\left(5u+v\right)+1\)
\(=25u^2+10uv+v^2+15u+3v+1\)
\(=\left(25u^2+10uv+15u\right)+v^2+3v+1\)
Để M chia hết 5 thì \(v^2+3v+1⋮5\)
Với \(0\le v\le4\), ta thấy chỉ có v = 4 là thỏa mãn.
Vậy \(a=5u+4\left(u\in N\right)\)
c) Để M là lũy thừa của 5 thì \(a=5u+4\left(u\in N\right)\)
\(\Rightarrow M=\left(5u+4\right)^2+3\left(5u+4\right)+1\)
Với n chẵn, a có tận cùng là chữ số 4. Vậy thì M có tận cùng là chữ số 9
Vậy không thể là lũy thừa của 5.
Với n lẻ, a có tận cùng là chữ số 9. Vậy thì M có tận cùng là chữ số 9
Vậy không thể là lũy thừa của 5.
Vậy không tồn tại số a để M là lũy thừa của 5.
đây là đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên trường PTNK-ĐHQG-TP.Hồ Chí Minh(vòng 2) năm 2013-2014 ak
Lời giải:
$n$ không chia hết cho $3$ nên $n=3k+1$ hoặc $n=3k+2$ với $k$ tự nhiên.
Nếu $n=3k+1$:
$A=5^{2n}+5^n+1=5^{2(3k+1)}+5^{3k+1}+1$
$=5^{6k}.25+5.5^{3k}+1$
Vì $5^3\equiv 1\pmod {31}$
$\Rightarrow A\equiv 1^{2k}.25+5.1^k+1\equiv 31\equiv 0\pmod {31}$
$\Rightarrow A\vdots 31$
Nếu $n=3k+2$ thì:
$A=5^{2(3k+2)}+5^{3k+2}+1$
$=5^{6k}.5^4+5^{3k}.5^2+1$
$\equiv 1^{2k}.1.5+1^k.5^2+1\equiv 5+5^2+1\equiv 31\equiv 0\pmod {31}$
$\Rightarrow A\vdots 31$
Từ 2 TH suy ra $A\vdots 31$ (đpcm)
1.Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9
2.
Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu nó là bình phương của một số chẵn, là số chính phương lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ. (Nói một cách khác, bình phương của một số chẵn là một số chẵn, bình phương của một số lẻ là một số lẻ)
Lời giải:
a.
Từ $x+y=2\Rightarrow y=2-x$. Thay vào PT(2):
$(m+1)x+m(2-x)=7$
$\Leftrightarrow x+2m=7$
$\Leftrightarrow x=7-2m$
$y=2-x=2-(7-2m)=2m-5$
Vậy hpt có nghiệm $(x,y)=(7-2m, 2m-5)(*)$
Nếu $x,y$ có 1 số $\geq 0$, một số $\leq 0$ thì $xy\leq 0< 1$
Nếu $x,y$ cùng $\geq 0$ thì áp dụng BĐT Cô-si:
$2=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 1$
Vậy tóm lại $xy\leq 1(**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra với mọi $m$ thì hpt luôn có nghiệm $x,y$ thỏa mãn $xy\leq 1$
b.
$xy>0$
$\Leftrightarrow (7-2m)(2m-5)>0$
$\Leftrightarrow 7> 2m> 5$
$\Leftrightarrow \frac{7}{2}> m> \frac{5}{2}$
Do $m$ nguyên nên $m=3$
Thử lại thấy đúng.
B1 a, Có n lẻ nên n = 2k+1(k E N)
Khi đó: n^2 + 7 = (2k+1)^2 +7
= 4k^2 + 4k + 8
= 4k(k+1) +8
Ta thấy k và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết cho 2
=> k(k+1) chia hết cho 2 <=> 4k(k+1) chia hết cho 8
Mà 8 chia hết cho 8 <=> n^2 + 7 chia hết cho 8
giải câu c nha
xét hiệu:A= \(a^3+b^3+c^3-a-b-c=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)
Ta có:a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1) chia hết cho 6
tương tự :b3-b chia hết cho 6 và c3-c chia hết cho 6
\(\Rightarrow\)A chia hết cho 6
=> a3+b3+c3 -a-b-c chia hết cho 6
mà a3+b3+c3chia hết cho 6 nên a+b+c chia hết cho 6
k cho tớ xog tớ giải hai câu còn lại cho nha
a/ n3 - n = n(n+1)(n-1) đây là ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6
b) A=m3+3m2-m-3
=(m-1)(m2+m+1) +m(m-1) +2(m-1)(m+1)
=(m-1)(m2+m+1+m+2m+2)
=(m-1)(m2+4m+4-1)
=(m-1)[ (m+2)2-1 ]
=(m-1)(m+1)(m+3)
với m là số nguyên lẻ
=> m-1 là số chẵn(nếu gọi m là 2k-1 thì 2k-1-1=2k-2=2(k-1)(chẵn)
m+1 là số chẵn (tương tự 2k11+1=2k(chẵn)
m+3 là số chẵn (tương tự 2k-1+3=2k++2=2(k+2)(chẵn)
ta có:gọi m là 2k-1 thay vào A ta có:(với k là số nguyên bất kì)
A=(2k-2)2k(2k+2)
=(4k2-4)2k
=8k(k-1)(k+1)
k-1 ;'k và k+1 là 3 số nguyên liên tiếp
=> (k-1)k(k+1) sẽ chia hết cho 6 vì trong 3 số liên tiếp luôn có ít nhất 1 số chia hết cho 2 , 1 số chia hết cho 3
=> tích (k-1)k(k+1) luôn chia hết cho 6
=> A=8.(k-1)(k(k+1) luôn chia hết cho (8.6)=48
=> (m3+3m3-m-3) chia hết cho 48(đfcm)
ở lớp 8 ta có chứng minh rằng 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6 rồi đó ở trong sbt toán 8