Question

[Đoàn Phương Liên]

1/ Cho ΔABC đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ là BC lấy các điểm D và E sao cho BD vuông góc BA, BD = BA, CE vuông góc CA, CE = CA. CMR các đường thảng AH, CE, BD đồng quy.

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. Tia đối của tia CB là Cx

K là giao điểm của BI và CE

Ta thấy \(\widehat{ECx}=\widehat{HAC}\)(cùng phụ với \(\widehat{ACH}\))

\(\Rightarrow\widehat{IAC}=\widehat{BCE}\)(cùng kề bù với hai góc bằng nhau)

Xét \(\Delta IAC\)và \(\Delta BCE\)có:

     AI = CB (theo cách chọn điểm phụ)

    \(\widehat{IAC}=\widehat{BCE}\left(cmt\right)\)

    AC = CE (gt)

Do đó \(\Delta IAC=\Delta BCE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ICA}=\widehat{BEC}\)(hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat{ICA}+\widehat{ICE}=90^0\left(=\widehat{ACE}\right)\)nên \(\widehat{BEC}+\widehat{ICE}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta CKE\)vuông tại K\(\Rightarrow\widehat{CKE}=90^0\Rightarrow BE\perp IC\)

Tương tự ta có \(CD\perp BI\)

\(\Rightarrow IH,CD,BE\)đồng quy (ba đường cao trong \(\Delta IBC\))

Mà \(IH\equiv AH\Rightarrow AH,CD,BE\)đồng quy

Vậy \(AH,CD,BE\)đồng quy (đpcm)