Question

[Luyện Hoàng Hương Thảo]

1. Cho \(A=\sqrt{1991}+\sqrt{1993}\)

          \(B=2\sqrt{1992}\)

So sánh A và B.

2. Chứng minh rằng trong các số: \(2a+b-2\sqrt{cd};2b+c-2\sqrt{ad};2c+d-2\sqrt{ab};2d+a-2\sqrt{bc}\)

có ít nhất 2 số dương với \(a,b,c\ge0\)

3. Cho a>c; b>c; c>0

CM: \(\sqrt{c\left[a-c\right]}+\sqrt{b\left[b-c\right]}\le\sqrt{ab}\)

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

1) Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\le\sqrt{\frac{a+b}{2}}\) (Bạn có thể chứng minh bằng biến đổi tương đương)

Ta có : \(\frac{\sqrt{1991}+\sqrt{1993}}{2}\le\sqrt{\frac{1991+1993}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1991}+\sqrt{1993}\le2\sqrt{1992}\)

2) Đề thiếu điều kiện

3) Mình sửa lại đề chút xíu nhé :)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki , ta có : \(\left(\sqrt{c}.\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}.\sqrt{c}\right)^2\le\left(c+b-c\right)\left(a-c+c\right)\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)^2\le ab\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le ab\)

Answer 2

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Sửa lại giúp mình dòng cuối nhé :)