Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề sai rồi. Chỉ cần \(3\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\right)=\frac{49}{12}>4\) thì cần gì tới 4 số phải bằng nhau nữa.
Bạn xem lời giải tại đây:
cho 100 STN \(a_1,a_2,...,a_{100}\) thỏa mãn: \(\dfrac{1}{\sqrt{a_1}} \dfrac{1}{\sqrt{a_2}} ... \dfrac{1}{\sqrt{a_{100}... - Hoc24
Giả sử 100 số tự nhiên đã cho đôi một khác nhau và \(a_1\ge1\),\(a_2\ge2\),..\(a_{100}\ge100\)( vì a là số tự nhiên)
\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)
Ta có điều sau:\(\dfrac{1}{2\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)
\(\Rightarrow S< 1+2.\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)
\(=1+2.\left(10-1\right)=19\)( trái với giả thiết)
nên có ít nhất 2 trong 100 số đã cho bằng nhau .
Lời giải:Giả sử trong 100 số tự nhiên $a_1,a_2,...,a_{100}$ không có 2 số nào bằng nhau. Khi đó:
\(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}< \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)
Mà:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}< 19\)
Do đó \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{100}}}< 19\) (trái với giả thiết)
Suy ra điều giả sử là sai. Tức là trong 100 số tự nhiên có 2 số bằng nhau (đpcm)
Bạn có thể xem cách chứng minh \(\sum_{n=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{n}}< 19\) tại đây:
Chứng minh rằng \(2\left(\sqrt{n 1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\) (với \(n\in... - Hoc24
Ta phản chứng rằng không tồn tại 2 số nào bằng nhau trong 25 số trên, đồng nghĩa với 25 số trên là phân biệt, ta sắp xếp chúng theo thứ tự $a_1<a_2<...<a_25$, có thể thấy rằng, bộ số $1,2,...25$ chính là bộ số mà giá trị của vế trái lớn nhất, nhưng giá trị lúc này có thể tính được là xấp xỉ 8,6<9 nên không thỏa mãn, các bộ số khác hiển nhiên cũng sẽ khiến vế trái nhỏ hơn 9, vậy không tồn tại bộ số nào thỏa mãn nếu chúng phân biệt, ta có điều phải chứng minh
Phản chứng: giả sử trong 361 số đó, không có 2 số nào bằng nhau
Không mất tính tổng quát, giả sử:
\(0< a_1< a_2< ...< a_{361}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1\ge1\\a_2\ge2\\...\\a_{361}\ge361\end{matrix}\right.\)
Đặt \(S=\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{361}}}\)
\(\Rightarrow S\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{361}}\)
\(\Rightarrow S\le1+2\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{2\sqrt{361}}\right)\)
\(\Rightarrow S< 1+2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{360}+\sqrt{361}}\right)\)
\(\Rightarrow S< 1+2\left(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}+...+\dfrac{\sqrt{361}-\sqrt{360}}{\left(\sqrt{361}+\sqrt{360}\right)\left(\sqrt{361}-\sqrt{360}\right)}\right)\)
\(\Rightarrow S< 1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{361}-\sqrt{360}\right)\)
\(\Rightarrow S< 1+2\left(\sqrt{361}-1\right)=37\)
Trái với giả thiết \(S=37\)
\(\Rightarrow\) Điều giả sử là sai hau trong 361 số tự nhiên đó tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau
a) 9x2 - 36
=(3x)2-62
=(3x-6)(3x+6)
=4(x-3)(x+3)
b) 2x3y-4x2y2+2xy3
=2xy(x2-2xy+y2)
=2xy(x-y)2
c) ab - b2-a+b
=ab-a-b2+b
=(ab-a)-(b2-b)
=a(b-1)-b(b-1)
=(b-1)(a-b)
P/s đùng để ý đến câu trả lời của mình
\(2a=1-\sqrt{2}\Rightarrow\sqrt{2}=1-2a\Rightarrow2=4a^2-4a+1\Rightarrow a^2-a=\dfrac{1}{4}\)
\(16a^8=16a^6\left(a^2-a\right)+16a^7=16a^7+4a^6=16a^5\left(a^2-a\right)+20a^6=20a^6+4a^5\)
\(=20a^4\left(a^2-a\right)+24a^5=24a^5+5a^4=24a^3\left(a^2-a\right)+29a^4\)
\(=29a^4+6a^3=29a^2\left(a^2-a\right)+35a^3=35a^3+\dfrac{29}{4}a^2\)
\(=35a\left(a^2-a\right)+\dfrac{169}{4}a^2=\dfrac{169}{4}a^2+\dfrac{35}{4}a=\dfrac{169}{4}\left(a^2-a\right)+51a=\dfrac{169}{16}+51a\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{169}{16}+51a-51a}=\dfrac{13}{4}\)
2/
Với \(a\in Z^+\) , ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{2}{2\sqrt{a}}< \dfrac{2}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a}}=2\left(\sqrt{a}-\sqrt{a-1}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 2\left(\sqrt{100}-\sqrt{1}\right)=18\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 19\)
Áp dụng vào bài toán, ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}=19\left(1\right)\)
Giả sử tất cả các số tự nhiên \(a_k\left(k=1...100\right)\) đều khác nhau và \(a_k\ne0\), không làm mất tính tổng quát, giả sử \(1\le a_1< a_2< a_3< ...< a_{100}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1\ge1\\a_2\ge2\\...\\a_{100}\ge100\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}\\\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\...\\\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{100}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 19\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}< 19\)
Mâu thuẫn với \(\left(1\right)\Rightarrow\) điều giả sử là sai.
Vậy phải tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau