12.x - 64 = 2⁵

12.x - 64 = 32

12.x = 32 + 64

12.x = 96

x = 96 : 12

x = 8

Độ cao mới của chiếc tàu đó so với mức nước biển là: -123 + 82 = -41(m)

Vậy độ cao mới của tàu là -41m so với mức nước biển.

Đ/số: -41m

(3n + 5) ⋮ (n - 3)    Đk: n - 3 ≠ 0; ⇒  n ≠ 3

3n  - 9 + 14 ⋮ n - 3

 3.(n - 3) + 14  ⋮ n - 3 

                 14 ⋮ n - 3

n - 3 \(\in\) Ư(14) = {-14; -7; -2; -1; 1; 2; 4; 14}

lập bảng ta có:

Vì n là số tự nhiên nên theo bảng trên ta có các số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là:

n \(\in\)  {1; 2; 4; 5; 7; 17}

y + \(xy\) = 4\(x\) 

y(1 + \(x\)) = 4\(x\)

y  =  \(\dfrac{4x}{x+1}\) (đk: \(x\) ≠ - 1)

y \(\in\)  Z; ⇒4\(x\) ⋮ \(x\) + 1 ⇒ 4\(x\) + 4 - 4 ⋮ \(x+1\) 

⇒4.(\(x+1\)) - 4 ⋮ \(x+1\)⇒  \(x+1\) \(\in\) Ư(4) = {-4; -2; -1; 1; 2; 4}

lập bảng ta có: 

'Theo bảng trên ta có các cặp số nguyên \(x;y\)

 thỏa mãn đề bài là:

(\(x;y\)     \(\))  =  (-5; 5); (-3; 6); (-2; 8); (0; 4); (1; 2); (3; 1)

B - C

       A = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3²⁰²²

     3A = 3  + 3² + 3³ + ... + 3⁴ + ... + 3²⁰²² + 3²⁰²³

3A - A = (3 + 3² + 3³ + ... + 3⁴ + 3²⁰²² + 3²⁰²³) - (1 + 3+...+ 3²⁰²²)

2A     = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3²⁰²² + 3²⁰²³ - 1 - 3 - ... - 3²⁰²²

2A =  (3 - 3) + (3² - 3²) + (3⁴ - 3⁴) + (3²⁰²² - 3²⁰²²) + (3²⁰²³ - 1)

2A = 3²⁰²³ - 1 

 A  = \(\dfrac{3^{2023}-1}{2}\)

A = \(\dfrac{3^{2023}}{2}\) - \(\dfrac{1}{2}\)

B - A = \(\dfrac{3^{2023}}{2}\) - (\(\dfrac{3^{2023}}{2}\) - \(\dfrac{1}{2}\))

B - A = \(\dfrac{3^{2023}}{2}\) - \(\dfrac{3^{2023}}{2}\) + \(\dfrac{1}{2}\)

B - A = \(\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x\left(5-2y\right)=24\Leftrightarrow x=\dfrac{24}{5-2y}\)(1)

Để x nguyên \(\Rightarrow24⋮5-2y\Rightarrow\left(5-2y\right)=\left\{-24;-12;-8;-6;-4;-3-2;-1;1;2;3;4;6;8;12;24\right\}\)

Tìm y tương ứng thay vào (1) để tìm x

Lời giải:
Ta thấy: $n^2+n=n(n+1)$ là tích của 2 số nguyên liên tiếp. Trong 2 số nguyên liên tiếp luôn có 1 số chẵn và 1 số lẻ nên $n^2+n=n(n+1)\vdots 2$

Ta có đpcm.