Giả sử tồn tại một số tự nhiên \(a\) để với mọi số tự nhiên \(b\), \(ab+4\) không phải là số chính phương. Điều này có nghĩa là phương trình \(ab+4=k^2\left(k\inℕ,k\ge2\right)\) không có nghiệm tự nhiên \(\left(b,k\right)\).

 \(\Leftrightarrow b=\dfrac{k^2-4}{a}\) không có nghiêm tự nhiên. 

 Điều này tương đương với việc không tồn tại số tự nhiên \(k\) nào để \(k^2-4⋮a\).     (*)

 Ta sẽ chứng minh (*) vô lý.

 Thật vậy, nếu \(a\ge4\) thì tồn tại số tự nhiên \(k=am+2\left(m\inℕ\right)\) thỏa mãn:

\(k^2-4=\left(am+2\right)^2-4=a^2m^2+4am+4-4=a\left(am^2+4m\right)⋮a\)

 Nếu \(a=3\) thì tồn tại số \(k=3n+1\left(n\inℕ\right)\) để:

 \(k^2-4=\left(3n+1\right)^2-4=9n^2+6n+1-4=9n^2+6n-3⋮3\)

 Nếu \(a=2\) thì chỉ cần chọn \(k\) chẵn là xong.

 Như vậy ta đã chỉ ra rằng (*) vô lý. Do đó điều ta giả sử ban đầu là sai.

 Vậy ta có đpcm.

\(15x-3^2\cdot x-6x=9x-9x=0\)

  15\(x\) - 3²\(x\) - 6\(x\) 

= 15\(x\) - 9\(x\) - 6\(x\)

=   6\(x\) - 6\(x\)

= 0 

Tam giác ACE đều \(\Rightarrow AE=AC\) và \(\widehat{CAE}=60^o\)

Tam giác ABC vuông cân tại A \(\Rightarrow AB=AC\) và \(\widehat{BAC}=90^o\)

Từ đó \(\Rightarrow AE=AB\) \(\Rightarrow\Delta ABE\) cân tại A

Đồng thời \(\widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=90^o+60^o=150^o\)

 \(\Rightarrow\widehat{ABE}=\dfrac{180^o-\widehat{BAE}}{2}=\dfrac{180^o-150^o}{2}=15^o\)

Mặt khác, tam giác ADB cân tại và \(\widehat{ADB}=150^o\) nên tam giác ADB chí có thể cân tại D (vì nếu cân tại điểm khác thì khi đó trong tam giác ADB sẽ có 2 góc bằng \(150^o\), vô lý). Khi đó \(\widehat{ABD}=15^o\)

 Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa tia BA, có \(\widehat{ABD}=\widehat{ABE}=15^o\) nên B, D, E thẳng hàng. (đpcm)

Số vải tổ 1 sản xuất được là:

\(47,8-35,6=12,2\left(m\right)\)

Số vải tổ 2 sản xuất được là:

\(12,2+5,2=17,4\left(m\right)\)

Số vải tổ 3 sản xuất được là:

\(35,6-17,4=18,2\left(m\right)\)

\(15x-3^2.x-6x=6978\left(17-34:2\right)\\ \Rightarrow15x-9x-6x=6978\left(17-17\right)\\ \Rightarrow\left(15-9-6\right).x=6978.0\\ \Rightarrow0x=0\) (luôn đúng với mọi giá trị của x)

Vậy có vô số giá trị x thỏa mãn đề bài.

333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

\(\widehat{A_1}+\widehat{BAD}=180^0\)

=>\(\widehat{BAD}+50^0=180^0\)

=>\(\widehat{BAD}=130^0\)

Ta có: \(\widehat{ADC}=\widehat{D_1}\)(hai góc đối đỉnh)

=>\(\widehat{ADC}=110^0\)

Ta có: \(\widehat{BAD}=\widehat{B_1}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AD//BC

=>\(\widehat{ADC}+\widehat{DCB}=180^0\)

=>\(x+110^0=180^0\)

=>\(x=70^0\)

b) 

\(\widehat{B}+\widehat{A}=130^o+50^o=180^o\)

Mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía 

\(\Rightarrow BC//AD\Rightarrow\widehat{D}+\widehat{C}=180^o\) 

\(\widehat{D}=110^o\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{C}=180^o-110^o=70^o\)

               Giải:

Số các số chẵn từ 16 đến 52 là:

 (52 - 16) : 2 + 1 = 19 (số)

Đáp số: 19 số

19 số

Ta có: \(\widehat{xMN}+\widehat{MNF}=120^0+60^0=180^0\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí trong cùng phía

nên a//b

                     Giải:

Chiều dài lúc sau bằng: 1 - \(\dfrac{2}{5}\) = \(\dfrac{3}{5}\) (chiều dài lúc đầu)

Chiều rộng lúc sau bằng: 1 + \(\dfrac{4}{7}\) = \(\dfrac{11}{7}\) (chiều rôngj lúc đầu)

Tỉ số chiều dài lúc đầu và chiều rộng lúc đầu là"

         \(\dfrac{11}{7}\) :  \(\dfrac{3}{5}\) =  \(\dfrac{55}{21}\)

Nử chu vi hình chữ nhật ban đầu là: 

  760 : 2 =  380 (m)

Theo bài ra ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ ta có: 

Chiều dài lúc đầu là: 380: (55 + 21) x 55 =  275 (m)

Chiều rộng lúc đầu là: 380  - 275 =  105 (m)

Diện tich thửa ruộng lúc đầu là" 275 x 105  = 28875 (m²)

Thửa ruộng đó thu được số ki-lô-gam thóc là: 

        4 x  28875 : 5 = 23100 (kg)

Đáp số: 23100 kg 

Các cậu làm bài gì thế