a,b,c là các số thực đôi một phân biệt

=>\(a-b;b-c;a-c\) đều khác 0

\(a^3+b^3+c^3=3bac\)

=>\(\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

=>\(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

=>\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)

=>\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)

=>\(\left(a+b+c\right)\left[2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\right]=0\)

=>\(\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

=>a+b+c=0

=>a+b=-c; a+c=-b; b+c=-a

\(P=\dfrac{a+b}{c}\cdot\dfrac{b+c}{a}\cdot\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{-c}{c}\cdot\dfrac{-a}{a}\cdot\dfrac{-b}{b}=-1\)

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{1;-1\right\}\)

\(C=\left(\dfrac{1}{x^2+1}-\dfrac{x+1}{x^4-1}\right):\dfrac{x+1}{x^5+x^4-x-1}\)

\(=\dfrac{x^2-1-x-1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)}:\dfrac{x+1}{x^4\left(x+1\right)-\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^2-x-2}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^4-1\right)}{x+1}\)

\(=\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot\dfrac{x^4-1}{1}\)

=(x-2)(x+1)

b: Để C=0 thì (x-2)(x+1)=0

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(nhận\right)\\x=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

c: \(C=\left(x-2\right)\left(x+1\right)=x^2-x-2\)

\(=x^2-x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{9}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}>=-\dfrac{9}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x-\dfrac{1}{2}=0\)

=>\(x=\dfrac{1}{2}\)

Bài này có Thịnh làm cho em rồi nhé. 

a: Xét tứ giác ABCD có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^0\)

=>\(\widehat{C}+\widehat{D}=360^0-110^0-70^0=180^0\)

=>\(\dfrac{1}{3}\cdot\widehat{D}+\widehat{D}=180^0\)

=>\(\dfrac{4}{3}\cdot\widehat{D}=180^0\)

=>\(\widehat{D}=135^0\)

\(\widehat{C}=\dfrac{1}{3}\cdot135^0=45^0\)

b:

Sửa đề: Cho tứ giác ABCD.

Đặt \(\widehat{B}=x;\widehat{C}=y;\widehat{D}=z\)

\(\dfrac{\widehat{B}}{2}=\dfrac{\widehat{C}}{3}=\dfrac{\widehat{D}}{4}\)

=>\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}\)

Xét tứ giác ABCD có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^0\)

=>\(x+y+z=360^0-90^0=270^0\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}=\dfrac{x+y+z}{2+3+4}=\dfrac{270}{9}=30^0\)

=>\(x=2\cdot30^0=60^0;y=3\cdot30^0=90^0;z=4\cdot30^0=120^0\)

Vậy: \(\widehat{B}=x=60^0;\widehat{C}=y=90^0;\widehat{D}=z=120^0\)

\(\widehat{C}=\widehat{B}+10^0=\widehat{A}+10^0+10^0=\widehat{A}+20^0\)

\(\widehat{D}=\widehat{C}+10^0=\widehat{A}+20^0+10^0=\widehat{A}+30^0\)

Xét tứ giác ABCD có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^0\)

=>\(\widehat{A}+\widehat{A}+10^0+\widehat{A}+20^0+\widehat{A}+30^0=360^0\)

=>\(4\cdot\widehat{A}=300^0\)

=>\(\widehat{A}=75^0\)

\(\widehat{B}=75^0+10^0=85^0\)

\(\widehat{C}=75^0+20^0=95^0\)

\(\widehat{D}=75^0+30^0=105^0\)

\(\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1\)

\(=\left(x+y-1\right)^2\) (HĐT số 2)

\(A=\left(x+2y\right)^2+\left(2x-y\right)^2-5\left(x+y\right)\left(x-y\right)-10\left(y+3\right)\left(y-3\right)\)

\(=x^2+4xy+4y^2+4x^2-4xy+y^2-5\left(x^2-y^2\right)-10\left(y^2-9\right)\)

\(=5x^2+5y^2-5x^2+5y^2-10y^2+90\)

=90

=>A không phụ thuộc vào biến

ĐKXĐ: \(x\ne1\)

c: Để A>1 thì \(A-1>0\)

=>\(\dfrac{x^2-x+1}{x-1}-1>0\)

=>\(\dfrac{x^2-x+1-x+1}{x-1}>0\)

=>\(\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}>0\)

mà \(x^2-2x+2=\left(x-1\right)^2+1>=1>0\forall x\)

nên x-1>0

=>x>1

d: Để A nguyên thì \(x^2-x+1⋮x-1\)

=>\(x\left(x-1\right)+1⋮x-1\)

=>\(1⋮x-1\)

=>\(x-1\in\left\{1;-1\right\}\)

=>\(x\in\left\{2;0\right\}\)

Để giải các bài toán liên quan đến hàm số \[ A = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}, \] ta cần phân tích hàm số này.

### 1. Tìm điều kiện để \( A > 1 \)

Để tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( A > 1 \), ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Biến đổi hàm số**:
   \[
   A = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}
   \]

   Ta phân tích phân thức này bằng cách chia \( x^2 - x + 1 \) cho \( x - 1 \) bằng phép chia đa thức:

   **Chia \( x^2 - x + 1 \) cho \( x - 1 \):**

   - Chia \( x^2 \) cho \( x \) được \( x \).
   - Nhân \( x \) với \( x - 1 \) được \( x^2 - x \).
   - Trừ \( x^2 - x \) khỏi \( x^2 - x + 1 \) ta còn dư \( 1 \).

   Vậy,
   \[
   \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = x + \frac{2}{x - 1}
   \]

2. **Đặt điều kiện \( A > 1 \)**:
   \[
   x + \frac{2}{x - 1} > 1
   \]

   - Trừ 1 từ cả hai vế:
     \[
     x + \frac{2}{x - 1} - 1 > 0
     \]

   - Kết hợp các hạng tử:
     \[
     x - 1 + \frac{2}{x - 1} > 0
     \]

   - Đặt \( t = x - 1 \), ta có:
     \[
     t + \frac{2}{t} > 0
     \]

   - Phân tích bất phương trình:
     \[
     t^2 + 2 > 0
     \]

   Vì \( t^2 + 2 \) luôn dương (bất kể giá trị của \( t \)), bất phương trình luôn đúng với mọi giá trị của \( t \neq 0 \). Do đó, điều kiện để \( A > 1 \) là \( x \neq 1 \).

### 2. Tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( A \) là số nguyên

1. **Biến đổi hàm số**:
   \[
   A = x + \frac{2}{x - 1}
   \]

   Để \( A \) là số nguyên, thì \(\frac{2}{x - 1}\) phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( x - 1 \) phải là một ước của 2.

2. **Tìm các ước của 2**:
   - Các ước của 2 là \( \pm 1, \pm 2 \).

3. **Tìm các giá trị tương ứng của \( x \)**:
   - Nếu \( x - 1 = 1 \), thì \( x = 2 \).
   - Nếu \( x - 1 = -1 \), thì \( x = 0 \).
   - Nếu \( x - 1 = 2 \), thì \( x = 3 \).
   - Nếu \( x - 1 = -2 \), thì \( x = -1 \).

4. **Kiểm tra các giá trị**:

   - Với \( x = 2 \):
     \[
     A = \frac{2^2 - 2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3
     \]

   - Với \( x = 0 \):
     \[
     A = \frac{0^2 - 0 + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1
     \]

   - Với \( x = 3 \):
     \[
     A = \frac{3^2 - 3 + 1}{3 - 1} = \frac{7}{2} = 3.5
     \]
     (Không phải là số nguyên)

   - Với \( x = -1 \):
     \[
     A = \frac{(-1)^2 - (-1) + 1}{-1 - 1} = \frac{3}{-2} = -1.5
     \]
     (Không phải là số nguyên)

### Kết quả:

- **Điều kiện để \( A > 1 \)** là \( x \neq 1 \).
- **Các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) là số nguyên** là \( x = 0 \) và \( x = 2 \).

a: ĐKXĐ: \(x\ne-1\)

\(x^2+x=0\)

=>x(x+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\left(nhận\right)\\x=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Khi x=0 thì \(A=\dfrac{0-3}{0+1}=\dfrac{-3}{1}=-3\)

b: \(Q=A\cdot B\)

\(=\dfrac{x-3}{x+1}\left(\dfrac{3}{x-3}-\dfrac{6x}{9-x^2}+\dfrac{x}{x+3}\right)\)

\(=\dfrac{x-3}{x+1}\left(\dfrac{3\left(x+3\right)+6x+x\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\)

\(=\dfrac{x-3}{x+1}\cdot\dfrac{3x+9+6x+x^2-3x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{1}{x+1}\cdot\dfrac{x^2+6x+9}{x+3}=\dfrac{x+3}{x+1}\)