I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.

nick mk cap 17

ko bit

I am thank you đúng 100% luôn nha

Ta có: \(x^2+y^2=\left(x^2+4y^2\right)-3y^2\)

                           \(\ge4xy-3y^2\)

                            \(\ge4xy-3y.\frac{x}{2}\)

                              \(=\frac{5}{2}xy\)

Khi đó \(A=\frac{x^2+y^2}{2017xy}\ge\frac{\frac{5xy}{2}}{2017xy}=\frac{5}{4034}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 2y

Bài này chắc dùng phương pháp hạ bậc + chọn điểm rơi. :v

                         Lời giải:

Dự đoán dấu "=" xảy ra tại a = b = 1

Ta có: \(1+a^2\ge2a;1+b^2\ge2b\) (cô si)

Suy ra \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\le\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\) (1)

Áp dụng BĐT Am-Gm (Cô si),ta có: \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)

Lại có: \(\frac{2}{1+ab}\ge\frac{2}{1+\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\frac{2}{1+\frac{2}{2}}=1\) (2)

Ta sẽ c/m: \(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\le1\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le2\)

Chứng minh tiếp đi:v,bí r:v

: ở đâu có nhãn xanh thế tth?

Từ \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}\ge\left(1-\frac{1}{1+y}\right)+\left(1-\frac{1}{1+z}\right)\)          

                    \(=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)

C/m tương tự cũng có \(\frac{1}{1+y}\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}}\)

                                    \(\frac{1}{1+z}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)

Nhân 3 vế của các bất đẳng thức trên lại ta được

\(\frac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{8xyz}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

\(\Rightarrow1\ge8xyz\)

\(\Leftrightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)

Dấu "='' khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

Vậy .......

Đây là môn toán mà!

Dấu BĐT ngược 1 chút \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)

Xét hiệu 2 vế của BĐT

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{2}{1+ab}=\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\ge0\)

=> \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1