Ta có:

\(1=2^0\\ 2=2^1\\ 4=2^2\\ 8=2^3\\ .......\\ 2048=2^{11}\)

\(S=2^0+2^1+2^2+...+2^{11}\\ \Rightarrow2S=2^1+2^2+2^3+....+2^{12}\)

\(\Rightarrow2S-S=2^{12}-1\Leftrightarrow S=2^{12}-1\)

Đs....

(2048 +1)2048=....

25 = 5²

21 = 3 x 7 

BCNN(25,21) = 5² x 3 x 7 = 525

27 = 3³

40 = 2³x5

BCNN(27,40) = 1080

12 = 2⁴x3

16 = 2⁴

21 = 3 x7 

BCNN(12, 16, 21) = 2⁴ x 3 x 7 = 336

15 = 3 x 5

27 = 3³

38 = 2 x 19

BCNN(15.27.38) = 5130

31 = 31

38 = 2 x19

55 = 5 x 11

BCNN(31, 58, 55) = 31 x 2 x 19 x 5 x 11 = 64790

Lời giải:
a. $x$ là ước tự nhiên của 6 

$\Rightarrow x\in\left\{1;2;3;6\right\}$

b. $x+1$ là ước tự nhiên của $8$

$\Rightarrow x+1\in\left\{1;2;4;8\right\}$

$\Rightarrow x\in\left\{0;1;3;7\right\}$

c. $x-2$ là ước của $10$

$\Rightarrow x-2\in\left\{1;-1;2;-2; 5;-5;10;-10\right\}$

$\Rightarrow x\in\left\{3; 1;4;0; 7;-3;12;-8\right\}$

Mà $x$ tự nhiên nên $x\in\left\{3;1;4;0;7;12\right\}$

x  : x  = 1 ⇔ x ⋮ x ∀ x ϵ N

x ⋮ x + 1  ⇔ x + 1  - 1 ⋮ x + 1 ⇔ -1 ⋮ x + 1

 ⇔ x + 1 ϵ{-1; 1} ⇔ x ϵ {  0}

x ⋮ x - 2 ⇔ x - 2 + 2 ⋮ x -2 ⇔ 2 ⋮ x - 2

x - 2 ϵ { -2; -1; 1; 2} ⇔ x ϵ { 0; 1; 3 ; 4}

Vì) ( do ⋮ 18 ) 18 . 15 ⋮18

17 ./' 18

nên a ko chia hết cho 18

Vì a chia 36 dư 12 nên ta có thể viết a dưới dạng a = 36k+12 ( k ∈ N )

Vì 36k ⋮ 4 ; 12  ⋮ 4 => a ⋮ 4

Vì 36 ⋮ 9 ; 12 \(⋮̸\) 9 => a \(⋮̸\) 9

n² = \(\overline{(a+1)a(a+2)(a+3)}\)

vì n² là một số chính phương nên

n =  \(\overline{..0}\) ; \(\overline{...1}\); \(\overline{...4}\); \(\overline{...5}\); \(\overline{...6}\); \(\overline{....9}\)

⇔a+ 3 = 0; 1; 4; 5; 6; 9  ⇔ a =-3; -2; 1; 2; 3; 6

vì 0 ≤ a  ≤ 9 ⇔a = 1; 2; 3; 6

⇔n² = 2134; 3245;4356; 7689

vì 46²  < 2134< 47²  nên n² = 2134 (loai)

vì 56²< 3245 < 57² nên n² = 3245 (loại)

vì 87² < 7689 < 7744 nên n² = 7689 (loại)

vì 66² = 4356

vậy n² = 4356 là số chính phương thỏa mãn đề bài

Ta có :

n² = (a+1)a(a+2)(a+3)

=> n² = [a(a+3)].[(a+1)(a+2)]

=> n² = (a²+3a).(a²+3a+2)

Đặt y=a²+3a+1

=> n² = (y-1)(y+1)

=> n² = y²-1

=> n² và y² là 2 số chính phương liên tiếp

<=> n² = 0 ; y² = 1 ( do n²<y²)

\(\dfrac{6}{10}-\dfrac{4}{9}-\dfrac{16}{15}\)
 

\(=\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{9}-\dfrac{16}{15}\)

\(=\dfrac{27}{45}-\dfrac{20}{45}-\dfrac{48}{45}\)

\(=-\dfrac{41}{45}\)

    \(\dfrac{6}{10}\) - \(\dfrac{4}{9}\) - \(\dfrac{16}{15}\)

=   \(\dfrac{6\times9}{10\times9}\)- \(\dfrac{4\times10}{9\times10}\) - \(\dfrac{16\times6}{15\times6}\)

= \(\dfrac{54}{90}\) - \(\dfrac{40}{90}\) - \(\dfrac{96}{90}\)

= \(\dfrac{-82}{90}\)

= \(\dfrac{-41}{45}\)

(x-1) + ( x -2) + ( x-3) +.....+ ( x-9) = 54

(x-1+x-9).{ (x-9 -x + 1 ): (-1) +1} : 2= 54

(2x-10). 9 : 2 = 54

(2x- 10) = 54 x2: 9

2x - 10 = 12

2x = 22

x = 22: 2

x = 11

từ 1 đến 9 cần 9 chữ số

từ 10 đến 99 cần : (99- 9) x 2 = 180 chữ số

số các chữ số còn lại là: 1460 - 180 - 9 = 1271 (chữ số)

vì 1271 : 3 = 423 dư 2 

vậy chữ thứ 1460 là chữ số thứ 2 của số thứ 424 của dãy số:

100; 101; 102; 103.......;

số thứ 424  của dãy số là: 

(424 - 1) x 1+ 100 = 523

chữ số thứ 1460 là chữ số 2