Lời giải:

Với những bài như này em chỉ cần nắm rõ điểm rơi rồi phân tích hợp lý để áp dụng những BĐT quen thuộc là được.

Ta có:

\(P=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{3(a+b)}{4\sqrt{ab}}+\frac{a+b}{\sqrt{4ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow 3(a+b)\geq 6\sqrt{ab}\Rightarrow \frac{3(a+b)}{4\sqrt{ab}}\geq \frac{6\sqrt{ab}}{4\sqrt{ab}}=\frac{3}{2}\)

Và:

\(\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

Do đó:

\(P=\frac{3(a+b)}{4\sqrt{ab}}+\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\geq \frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{5}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)

Cold Wind không cần kiểu mò mẫn (điểm rơi ) .

\(t=\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}\) quá đơn giản nhận ra \(t\ge2\)

\(P\left(t\right)=t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{t^2+1}{t}=m\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t^2-mt+1=0\\t\ge2\end{matrix}\right.\)\(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)

(1)có nghiệm<=> :\(\left\{{}\begin{matrix}m\in\left(-vc;-2\right)U\left(2;vc\right)\\t=\dfrac{m\pm\sqrt{m^2-4}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(t\ge2\Leftrightarrow\dfrac{m+\sqrt{m^2-4}}{2}\ge2\Leftrightarrow\sqrt{m^2-4}\ge4-m\)

m>4 luôn đúng

xét \(m\le4\) \(\Leftrightarrow m^2-4\ge16-8m+m^2\Leftrightarrow m\ge\dfrac{20}{8}=\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{5}{2}\) khi t =2 <=> a=b>0

lâu không tương tác xin 1 slot xem sao

Dùng nesbit thì ra

Đặt \(\left(a+1;b+1;c+1\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\).Giả thiết trở thành:\(xyz=x+y+z\) và cần tìm max của \(P=\sum\dfrac{x}{x^2+1}\)

Ta có: \(P=\sum\dfrac{x}{x^2+1}=\sum\dfrac{xyz}{x\left(x+y+z\right)+yz}=xyz.\sum\dfrac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

\(=\dfrac{2xyz\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)

Do \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\) nên \(P\le\dfrac{2xyz}{\dfrac{8}{9}\left(xy+yz+xz\right)}=\dfrac{9}{4\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}\)(*)

Mặt khác , từ giả thiết ta có : \(1=\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\le\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\)( theo AM-GM)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\sqrt{3}\)

Kết hợp với (*) , ta suy ra \(P\le\dfrac{9}{4\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\) hay \(a=b=c=\sqrt{3}-1\)

P/s: Chứng minh \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\dfrac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

khai triển ra ta có: \(\sum ab\left(a+b\right)\ge6abc\)hay \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)( đúng)

\(\Sigma\) cai nay dung khi nao day ban

Lời giải:

Ta có:

\(P=\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}\)

\(P=\frac{(x-1)+(y-1)}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{(y-1)+(z-1)}{y^2}-\frac{1}{y}+\frac{(x-1)+(z-1)}{z^2}-\frac{1}{z}\)

\(P=(x-1)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\right)+(y-1)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+(z-1)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{2}{xz}; \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{2}{xy}; \frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq \frac{2}{yz}\)

Kết hợp với \(x-1,y-1,z-1>0\) theo đkđb thì:

\(P\geq \frac{2(x-1)}{xz}+\frac{2(y-1)}{xy}+\frac{2(z-1)}{yz}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\Leftrightarrow P\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2\left(\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\right)\)

\(\Leftrightarrow P\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{2(x+y+z)}{xyz}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-2\)

\(\Leftrightarrow P\geq \frac{xy+yz+xz}{xyz}-2(*)\)

Ta có một hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

\((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)\)

Mà \(x+y+z=xyz\Rightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 3x^2y^2z^2\)

\(\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \sqrt{3}(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow P\geq \sqrt{3}-2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

cám ơn nhìu ạ

Đặt \(\sqrt[3]{b}=x\Rightarrow b=x^3\). Khi đó biểu thức B được biến đổi về dạng :

\(B=\left(\dfrac{x^3}{x^3+8}-\dfrac{4x^3}{\left(x+2\right)^3}\right).\left(\dfrac{1+\dfrac{2}{x}}{1-\dfrac{2}{x}}\right)^2-\dfrac{24}{x^3+8}\)

ĐK: \(x\ne0;x\ne\pm2\)

\(B=\left(\dfrac{x^3}{x^3+8}-\dfrac{4x^3}{\left(x+2\right)^3}\right).\left(\dfrac{x+2}{x-2}\right)^2-\dfrac{24}{x^3+8}\)

\(B=\dfrac{x^3\left(x+2\right)^2-4x^3\left(x^2-2x+4\right)}{\left(x+2\right)^3\left(x^2-2x+4\right)}.\dfrac{\left(x+2\right)^2}{\left(x-2\right)^2}-\dfrac{24}{x^3+8}\)

\(=\dfrac{-3x^5+12x^4-12x^3}{\left(x+2\right)^3\left(x^2-2x+4\right)}.\dfrac{\left(x+2\right)^2}{\left(x-2\right)^2}-\dfrac{24}{x^3+8}\)

\(=\dfrac{-3x^3\left(x-2\right)^2}{\left(x+2\right)^3\left(x^2-2x+4\right)}.\dfrac{\left(x+2\right)^2}{\left(x-2\right)^2}-\dfrac{24}{x^3+8}\)

\(=\dfrac{-3x^3}{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}-\dfrac{24}{x^3+8}=\dfrac{-3x^3}{x^3+8}-\dfrac{24}{x^3+8}\)

\(=\dfrac{-3\left(x^3+8\right)}{x^3+8}=-3\)

Thanks nhiều

Vì x là số nguyên

\(\Rightarrow x+\dfrac{1}{4}\)không phải số nguyên

\(\Rightarrow\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}\)không phải số nguyên

\(\Rightarrow\sqrt{x+\dfrac{1}{2}\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}}\)không phải số nguyên

Mà \(y-x\)là số nguyên

Vậy pt vô nghiệm nguyên

Sửa đề : Tìm nghiệm nguyên thỏa mãn bạn nhé.

Vì nếu tìm nghiệm nguyên dương thì từ đầu ta suy ra ngay PT vô nghiệm

Lời giải: Cho x,y và z thuộc Z

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=z\left(1\right)\\3x^2+2y^2=z^2+13\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (2) trừ (1) bình phương ta

\(\Leftrightarrow2x^2+y^2-2xy-4x+4y+4=13\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-2\right)^2+\left(x+4\right)^2=37\)

Tổng hai số chính phương bằng 37 có một cặp duy nhất: (36,1)

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y-2\right|=1\\\left|x+4\right|=36\end{matrix}\right.\left(\circledast\right)\\\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y-2\right|=6\\\left|x+4\right|=1\end{matrix}\right.\left(\circledast\circledast\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow z=2-\left(x+y\right)\)

Đến đây lập bảng 13 nghiệm là ra, kết quả giống như Akai Haruma

Lời giải:

Sửa lại đề là tìm nghiệm nguyên thôi bạn nhé. Nếu tìm nghiệm nguyên dương thì hiển nhiên từ pt đầu tiên ta suy ra ngay hệ vô nghiệm.

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} x+y+z=2\\ 3x^2+2y^2-z^2=13\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} z=2-x-y\\ 3x^2+2y^2=13+z^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 3x^2+2y^2=13+(2-x-y)^2\)

\(\Leftrightarrow 3x^2+2y^2=13+4+x^2+y^2+2xy-4x-4y\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+y^2-2xy+4x+4y-17=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y-2)^2+(x+4)^2=37\)

\(\Rightarrow (x+4)^2=37-(x-y-2)^2\leq 37\)

\(\Rightarrow -\sqrt{37}\leq x+4\leq \sqrt{37}\)

Suy ra \(-10\leq x\leq 2\)

Ta có:

Từ đây suy ra \(x\in \left\{-10; -5; -3; 2\right\}\)

Với \(x=-10; (x-y-2)^2=1\Rightarrow (-12-y)^2=1\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=-13\\ y=-11\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[\begin{matrix} z=25\\ z=23\end{matrix}\right.\)

Với \(x=-5; (x-y-2)^2=36\Rightarrow (-7-y)^2=36\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=-1\rightarrow z=8\\ y=-13\rightarrow z=20\end{matrix}\right.\)

Với \(x=-3; (x-y-2)^2=36\Rightarrow (-5-y)^2=36\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=1\rightarrow z=4\\ y=-11\rightarrow z=16\end{matrix}\right.\)

Với \(x=2, (x-y-2)^2=1\Rightarrow y^2=1\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=1\rightarrow z=-1\\ y=-1\rightarrow z=1\end{matrix}\right.\)

Vậy.....

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(2a+b+c=(a+b)+(a+c)\geq 2\sqrt{(a+b)(a+c)}\)

\(\Rightarrow (2a+b+c)^2\geq 4(a+b)(a+c)\)

\(\Rightarrow \frac{1}{(2a+b+c)^2}\leq \frac{1}{4(a+b)(a+c)}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:

\(P\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{(a+b)(a+c)}+\frac{1}{(b+c)(b+a)}+\frac{1}{(c+a)(c+b)}\right)\)

\(\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{4}.\frac{(b+c)+(c+a)+(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

\(\Leftrightarrow P\leq \frac{a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\)

Lại có: \((a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc\) (theo AM-GM)

\(\Rightarrow P\leq \frac{a+b+c}{2.8abc}=\frac{a+b+c}{16abc}(1)\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{2}{ab}; \frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{2}{bc}; \frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\geq \frac{2}{ac}\)

\(\Rightarrow 2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\geq 2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)

\(\Leftrightarrow 3\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}\)

\(\Rightarrow a+b+c\leq 3abc(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow P\leq \frac{3abc}{16abc}=\frac{3}{16}\)

Vậy \(P_{\max}=\frac{3}{16}\). Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Lời giải:

Bài 1:

ĐKXĐ: \(x\geq -1\)

Ta có: \(10\sqrt{x^3+1}=3(x^2+2)\)

\(\Leftrightarrow 10\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=3(x^2+2)\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}=a\\ \sqrt{x^2-x+1}=b\end{matrix}\right.(a,b\geq 0)\)

Khi đó: \(a^2+b^2=x^2+2\)

PT trở thành: \(10ab=3(a^2+b^2)\)

\(\Leftrightarrow (3a-b)(a-3b)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} 3a=b\\ a=3b\end{matrix}\right.\)

Nếu \(3a=b\Leftrightarrow 3\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-x+1}\)

\(\Rightarrow 9(x+1)=x^2-x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-10x-8=0\Leftrightarrow x=5\pm \sqrt{33}\) (thỏa mãn)

Nếu \(a=3b\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=3\sqrt{x^2-x+1}\)

\(\Rightarrow x+1=9(x^2-x+1)\)

\(\Leftrightarrow 9x^2-10x+8=0\)

\(\Leftrightarrow (3x-\frac{5}{3})^2+\frac{47}{9}=0\) (pt vô nghiệm)

Vậy \(x=5\pm \sqrt{33}\)

Bài 2:

Đặt \(\sqrt{x}=a, \sqrt{y}=b(a,b\geq 0)\)

Khi đó \(A=2a^2-2ab+b^2-2a+3\)

\(A=(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+2\)

\(A=(a-b)^2+(a-1)^2+2\)

Ta thấy

\(\left\{\begin{matrix} (a-b)^2\geq 0\\ (a-1)^2\geq 0\end{matrix}\right., \forall a,b\geq 0\Rightarrow A=(a-b)^2+(a-1)^2+2\geq 2\)

Vậy $A$ có GTNN và GTNN của \(A=2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a-b=0\\ a-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=1\Leftrightarrow x=y=1\)