Định lí côsin và định lí sin SVIP

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN

Trong tam giác $ABC$, ta thường kí hiệu:

• $A, \,B, \,C$ là các góc của tam giác tại các đỉnh tương ứng.
• $a, \,b, \,c$ tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh $A, \,B, \,C$.
• $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Định lí côsin. Trong tam giác $ABC$:

\(a^{^{ }2}=b^2+c^2-2bc\cos A,\)

\(b^2=c^2+a^2-2ca\cos B,\)

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.\)

Hệ quả.

\(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\); \(\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\); \(\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

Ví dụ. Cho tam giác \(ABC\) có các cạnh \(AC=10\) cm, \(BC=16\) cm và góc \(C\) bằng \(110^\circ\). Tính cạnh \(AB\) và góc \(A\) của tam giác đó.

Giải

Theo định lí côsin ta có:

\(AB^2=CA^2+CB^2-2CA.CB.\cos\widehat{C}\)

\(AB^2=16^2+10^2-2.16.10\)\(\cos110^\circ\)

\(AB^2\approx465,44\)

suy ra \(AB\approx\sqrt{465,44}\approx21,6\) (cm).

Theo hệ quả định lí côsin, ta có:

\(\cos A=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}\)

\(\cos A\approx\dfrac{10^2+\left(21,6\right)^2-16^2}{2.10.21,6}\approx0,72\)

suy ra \(A\approx\) \(43^\circ56'\).

2. ĐỊNH LÍ SIN

Định lí sin. Trong tam giác \(ABC\):

\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\).

Ví dụ. Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=6\) cm, \(\widehat{B}=30^\circ,\widehat{C}=45^\circ\), tính độ dài cạnh \(AC\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)

Giải

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) ta có:

\(\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}\Rightarrow AC=\dfrac{AB.\sin B}{\sin C}=\dfrac{6.\sin30^\circ}{\sin45^\circ}\approx4,24\) cm.

Ta lại có 

\(\dfrac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\dfrac{AB}{2.\sin C}=\dfrac{6}{2.\sin45^\circ}\approx4,24\) cm.