Đề và đáp án tuyển sinh vào lớp 10 sở GD&ĐT Huế năm 2022 - 2023 SVIP

Hướng dẫn giải:

a) $A=\sqrt{x-3}$ có nghĩa khi và chỉ khi $x-3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3$.

Vậy với $x \geq 3$ thì biểu thức $A=\sqrt{x-3}$ có nghĩa.

b) $B=\sqrt{2}(\sqrt{8}-\sqrt{3})+\sqrt{6}$

$=\sqrt{2}(2 \sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{6}=\sqrt{2}.2 \sqrt{2}-\sqrt{2} \sqrt{3}+\sqrt{6}=4-\sqrt{6}+\sqrt{6}=4$.

Vậy $B=4$

c) Với $x>0$ và $x \neq 1$ ta có $C=\dfrac{x}{\sqrt{x}+x}+\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\dfrac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}+\dfrac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}$

$=\dfrac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}=\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}=1.$

Vậy $C=1$ với $x>0$ và $x \neq 1$.

Hướng dẫn giải:

a) $\left\{\begin{aligned} &x - 2y = 1 \\ &3x + y = 10\\ \end{aligned} \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & x = 1 + 2y \\ &3(1 + 2y) + y = 10\\ \end{aligned} \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &x = 1 + 2.1 = 3\\ &y = 1\\ \end{aligned} \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &x=3 \\ &y=1 \end{aligned}\right.\right.\right.\right. $

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm $S=\{(3 ; 1)\}$

b) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d): \, y=2 m x-1$.

Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A(1 ; 2)$ khi và chỉ khi $2=2 m.1-1 \Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}$.

Vậy với $m=\dfrac{3}{2}$ thì đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A(1 ; 2)$

Hướng dẫn giải:

Gọi $x$ là thời gian (giờ) tổ thanh niên $A$ sửa riêng hoàn thành một đoạn đường $(x>0)$.

Gọi $y$ là thời gian (giờ) tổ thanh niên $B$ sửa riêng hoàn thành một đoạn đường $(y>0)$.

Khi đó, trong một giờ tổ thanh niên $A$ làm riêng sửa được $\dfrac{1}{x}$ đoạn đường và trong một giờ tổ thanh niên $B$ làm riêng sửa được $\dfrac{1}{y}$ đoạn đường.

Vì nếu hai tổ cùng làm thì trong $8$ giờ xong việc nên ta có phương trình $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8}$ (1).

Vì nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của tổ $A$ ít hơn tổ $B$ là $12$ giờ nên ta có phương trình $y-x=12$ (2).

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8} \\ &y-x=12\\ \end{aligned} \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{12+x}=\dfrac{1}{8} \\ &y=12+x\\ \end{aligned}\right.\right.$

Giải $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{12+x}=\dfrac{1}{8}$ ta có: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{12+x}=\dfrac{1}{8} \Leftrightarrow \dfrac{8(12+x)}{8 x(12+x)}+\dfrac{8 x}{8 x(12+x)}=\dfrac{x(12+x)}{8 x(12+x)}$

Suy ra $8(12+x)+8 x=x(12+x) \Leftrightarrow x^{2}+4 x+96=0 \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=-8 \\ &x=12\\ \end{aligned} \Rightarrow x=12\right.$ vì $(x>0)$.

Ta có $x=12 \Rightarrow y=12+12=24$.

Vậy thời gian tổ thanh niên $A$ sửa riêng hoàn thành một đoạn đường là $12$ giờ và thời gian tổ thanh niên $B$ sửa riêng hoàn thành một đoạn đường là $24$ giờ

Hướng dẫn giải:

a) Với $m=0$ phương trình $(1)$ trở thành $x^{2}+2 x-3=0$.

Phương trình $x^{2}+2 x-3=0$ có $a+b+c=1+2+(-3)=0$.

Do đó phương trình (1) có nghiệm $\left[\begin{aligned}&x=1 \\ &x=\dfrac{-3}{1}=-3\\ \end{aligned}\right.$.

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm $S=\{1 ;-3\}$.

b) Phương trình (1) có $\Delta'=[-(m-1)]^{2}-1 .\left(m^{2}-3\right)=4-2 m$ với mọi giá trị của $m$.

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta' \geq 0$ hay $4-2 m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 2$.

Vậy với $m \leq 2$ thì phương trình (1) có nghiệm.

c) Với $m \leq 2$ áp dụng hệ thức Vi-et ta có $\left\{\begin{aligned}&x_{1}+x_{2}=2(m-1) \\ &x_{1} x_{2}=m^{2}-3\\ \end{aligned}\right.$

Ta có $F=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}+x_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}+\left(x_{1}+x_{2}\right)$

$ =[2(m-1)]^{2}-2\left(m^{2}-3\right)+2(m-1)=2 m^{2}-6 m+8=\dfrac{1}{2}(2 m-3)^{2}+\dfrac{7}{2}$

Ta có $F=\dfrac{1}{2}(2 m-3)^{2}+\dfrac{7}{2} \geq \dfrac{7}{2}$ với mọi $m \leq 2$.

Biểu thức $F$ có giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{7}{2}$ đạt được khi $(2 m-3)^{2}=0$ hay $2 m-3=0 \Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}$.

Vậy với $m=\dfrac{3}{2}$ thì phương trình (1) có nghiệm $x_{1} ; \,  x_{2}$ sao cho biểu thức $F=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}+x_{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh $AEHF$ là tứ giác nội tiếp.

Trong tam giác $ABC$ có $BE$ và $CF$ là các đường cao cắt nhau tại $H$

$\Rightarrow BE \perp AC$; $CF \perp AB$

$\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{AFB}=90^{\circ}$ hay $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^{\circ}$.

Trong tứ giác $AEHF$ có $\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$

$\Rightarrow$ Tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp đường tròn (Tổng hai góc đối trong một tứ giác bằng $180^{\circ}$.

b) Vì $E ; \, F$ cùng nhìn $AH$ dưới một góc vuông $\Rightarrow AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$.

Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHF$ là $O'$, ($O'$ là trung điểm của $AH$).

Ta có $\left(O'\right)$ cắt $(O)$ tại $I$ suy ra $I \in (O)$ và $I' \in \left({O'\right)$

$\Rightarrow AIFE$ nội tiếp đường tròn $\left(O'\right)$

$\Rightarrow \widehat{IAF}=\widehat{IEF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $IF$) (1)

Và $\widehat{IFE}+\widehat{IAE}=180^{\circ}$ (2)

Do $I \in(O)$ và $I' \in\left(O'\right)$ nên $A I B C$ nội tiếp $(O)$

$\Rightarrow \widehat{IAB}=\widehat{ICB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $IB$) (3)

Và $\widehat{IBC}+\widehat{IAC}=180^{\circ}$ (4)

Từ (1) và (3) suy ra $\widehat{I E F}=\widehat{I C B} \, (=\widehat{I A B})$

Từ (2) và (4) $\Rightarrow \widehat{I F E}=\widehat{I B C}$ (cùng bù với $\widehat{I A E}$)

Xét $\triangle I B C$ và $\triangle I F E$ có:

$\widehat{I E F}=\widehat{I C B}$ (cmt)

$\widehat{I F E}=\widehat{I B C}$ (cmt)

Vậy $\triangle I B C \backsim \triangle I F E$ (g.g)

c) Tứ giác $I A E F$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{I F K}=\widehat{I A E}$.

Tứ giác $I A B C$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{I B K}=\widehat{I A E}$.

Suy ra $\widehat{I F K}=\widehat{I B K}$ suy ra tứ giác $I F B K$ nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat{K I F}+\widehat{K B F}=180^{\circ}$.

Mà $\widehat{K B F}=\widehat{F E C}=\widehat{F I A}$.

Nên $\widehat{K I F}+\widehat{F I A}=180^{\circ}$.

Vậy ba điểm $A, \, I, \, K$ thằng hàng.

Hướng dẫn giải:

Bán kính đáy của cốc là $\dfrac{6}{2}=3$ cm.

Vì viên bi sắt đặc được nhấn chìm hoàn toàn trong nước nên thể tích của lượng nước dâng lên chính là thể tích của viên bi và có giá trị:

     $V=\pi 3^{2} 2=18 \pi$ cm$^{3}$.

Vậy thể tích của viên bi là $18 \pi$ cm$^{3}$.