Với giá trị nào của a và b thì đa thức (x-a).(x-10)+1 phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 2 2016
Vì đa thức (x−a)(x−10)+1(x−a)(x−10)+1 có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất có hệ số nguyên nên ta chỉ có hai cách phân tích duy nhất là:
1)(x−a)(x−10)=(x+b)(x+c)2)(x−a)(x−10)=(−x+b)(−x+c)1)(x−a)(x−10)=(x+b)(x+c)2)(x−a)(x−10)=(−x+b)(−x+c) với b,c∈Zb,c∈Z
Ta sẽ tìm aa trong trường hợp 1)1), trường hợp còn lại làm tương tự
(x−a)(x−10)+1=(x−b)(x−c)⇔x2−(a+10)x+10a+1=x2+(b+c)x+bc(x−a)(x−10)+1=(x−b)(x−c)⇔x2−(a+10)x+10a+1=x2+(b+c)x+bc
Đồng nhất, ta được {b+c=−(a+10)bc=10a+1{b+c=−(a+10)bc=10a+1
⇒b,c⇒b,c là hai nghiệm nguyên của PT X2+(a+10)X+10a+1=0X2+(a+10)X+10a+1=0 với aa nguyên
⇒Δ=(a+10)2−40a−4=m2(m∈N)⇔(a−10)2−4=m2⇔(a−m−10)(a+m−10)=4⇒Δ=(a+10)2−40a−4=m2(m∈N)⇔(a−10)2−4=m2⇔(a−m−10)(a+m−10)=4
Vì a−m−10a−m−10 và a+m−10a+m−10 cùng tính chẵn lẻ và a+m−10≥a−m−10a+m−10≥a−m−10 nên:
{a+m−10=2a−m−10=2⇒a=12{a+m−10=2a−m−10=2⇒a=12
Hoặc :
{a+m−10=−2a−m−10=−2⇒a=8
20 tháng 2 2016
\(x^2-\left(a+10\right)x+10a+1=0\)
\(\Delta=a^2+20a+100-40a-4=\left(a-10\right)^2-4=\left(a-6\right)\left(a-14\right)\)
a thuộc Z => \(\Delta\) là số nguyên ; để TM yêu cầu => \(\Delta\) là số chính phương
=> a =6 ; a =14
18 tháng 8 2023
Đặt \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-10\right)+1=x^2-\left(a+10\right)x+10a+1\).
Theo đề bài, ta đặt \(f\left(x\right)=\left(x-m\right)\left(x-n\right)\) với \(m,n\inℤ\).
\(f\left(x\right)=x^2-\left(m+n\right)x+mn\)
Khi đó, ta thu được hệ pt:
\(\left\{{}\begin{matrix}m+n=a+10\\mn=10a+1\end{matrix}\right.\)
Ta thấy nếu \(\left(a+10\right)^2-4\left(10a+1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-12\right)\left(a-8\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow8< a< 12\)
thì sẽ không tồn tại \(m,n\) thỏa mãn. Vậy \(\left[{}\begin{matrix}a\le8\\a\ge12\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(m,n\) là nghiệm nguyên của pt \(X^2-\left(a+10\right)X+10a+1=0\) (*)
Pt này có \(\Delta=\left(a+10\right)^2-4\left(10a+1\right)\) \(=\left(a-10\right)^2-4\) mà (*) lại có 2 nghiệm nguyên nên \(\left(a-10\right)^2-4\) phải là số chính phương.
Đặt \(\left(a-10\right)^2-4=k^2\) (với \(k\inℕ\))
\(\Leftrightarrow\left(a-10\right)^2-k^2=4\)
\(\Leftrightarrow\left(a-10-k\right)\left(a-10+k\right)=4\)
Vì \(a-10-k\le a-10+k\) nên ta xét các TH sau:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}a-10+k=2\\a-10-k=2\end{matrix}\right.\), khi đó \(k=0\) và \(a=12\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2-22x+121=\left(x-11\right)^2\) thỏa ycbt.
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}a-10-k=1\\a-10+k=4\end{matrix}\right.\Rightarrow2k=3\), vô lí.
TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}a-10-k=-2\\a-10+k=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=0\\a=8\end{matrix}\right.\).
Thử lại, ta có \(f\left(x\right)=x^2-18x+81=\left(x-9\right)^2\) thỏa ycbt.
TH4; \(\left\{{}\begin{matrix}a-10-k=-4\\a-10+k=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow2k=3\), vô lí.
Vậy \(a\in\left\{8;12\right\}\) thỏa ycbt.
NX
7 tháng 8 2023
Để phân tích đa thức thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên, ta cần tìm giá trị của a và b sao cho đa thức (x - a)(x - 10) + 1 có phân tích thành tích của đa thức bậc nhất.
Đặt đa thức bậc nhất có hệ số nguyên là (x - b).
Để phân tích đa thức ban đầu thành tích của đa thức bậc nhất, ta sẽ nhân các đa thức bậc nhất có hệ số nguyên lại với nhau:
(x - a)(x - 10) = (x - b)(x - c)
Nhân hai đa thức bậc nhất lại với nhau, ta có:
x² - 10x - ax + 10a = x² - (b + c)x + bc
So sánh các hệ số của hai đa thức, ta có hệ thức:
-10x - ax = -(b + c)x
10a = bc
Từ đó, ta suy ra:
· 10 - a = -(b + c) --> a = 10 + b + c
Thay vào biểu thức 10a = bc, ta có:
10(10 + b + c) = bc
100 + 10b + 10c = bc