cho a,, là ba số dương thỏa mãn \(a+b+c=\frac{3}{4}\)
CMR: \(\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}\le3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 8 2021
\(3\ge a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow a+b+c\le3\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt[3]{3a+bc}}\le\dfrac{a}{\sqrt[3]{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{\dfrac{a}{a+b}.\dfrac{a}{a+c}.\dfrac{a}{2}}\le\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{a}{2}\right)\)
Cộng vế và rút gọn:
\(E\le\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\right)\)
\(E\le\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(3+\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{3\sqrt[3]{2}}{2}\)
TN
10 tháng 9 2017
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
HQ
15 tháng 2 2021
Bổ đề: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3\) \(\left(\forall a,b,c>0\right)\)
chứng minh bổ đề: \(\Sigma_{cyc}\left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right)+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\ge3\sqrt[3]{\left(\Pi_{cyc}\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right).\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}}\)
hoán vị theo a,b,c
ta được: \(3\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{9.\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\)
mũ 3 hai vế ta có được bất đẳng thức bổ đề: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3\)
Áp dụng bất C-S:
\(\sqrt{a^3+3b}+\sqrt{b^3+3c}+\sqrt{c^3+3a}\ge\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(a^3+b^3+c^3+3a+3b+3c\right)}\)
\(\ge\sqrt{3.\left[3+3\left(a+b+c\right)\right]}=\sqrt{36}=6\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1
cái này dễ thôi, Áp dụng bđt cô si ta có
\(\sqrt[3]{a+3b}\le\frac{a+3b+1+1}{3}\)
tương tự và + vào ta có \(A\le\frac{4\left(a+b+c\right)+6}{3}=3\) (đpcm)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/4