Cho a,b > 0, ab > 2013a + 2014b
CMR:\(a+b>\left(\sqrt{2013}+\sqrt{2014}\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 2 2018
Có ab > 2013a + 2014b <=> 1 > 2013/b + 2014/a (vì a,b >0 )
\(\Leftrightarrow a+b>\frac{2013\left(a+b\right)}{b}+\frac{2014\left(a+b\right)}{a}=2013+2014+\frac{2013a}{b}+\frac{2014b}{a}\)
Mà \(\frac{2013a}{b}+\frac{2014b}{a}\ge2\sqrt{2013\cdot2014}\)
\(\Rightarrow a+b>2013+2014+2\sqrt{2013\cdot2014}=\left(\sqrt{2013}+\sqrt{2014}\right)^2\)
=> đpcm
Tích cho mk nhoa !!!! ~~~
3 tháng 9 2016
Ta có : \(\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki : \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}=\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
hay \(\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}\le\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự : \(\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ac}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
\(\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế được \(\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ac}}+\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}\le1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\\a+b+c=2013\\a,b,c>0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow a=b=c=671\)
18 tháng 11 2017
a) Gõ link này nha: http://olm.vn/hoi-dap/question/1078496.html
BH
20 tháng 9 2019
\(\sqrt{\frac{\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)}{c+ab}}=\sqrt{\frac{\left(a^2+ab+ac+bc\right)\left(b^2+bc+ba+ac\right)}{c^2+ca+cb+ab}}=\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+a\right)\left(b+c\right)}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}=a+b\left(a,b,c>0;a+b+c=1\right)\)
Bạn làm tương tự nha
\(\Rightarrow P=a+b+c+a+b+c=2\left(a+b+c\right)=2\)
30 tháng 8 2022
a: \(=\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}\left(a-\sqrt{a}+1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{1}\)
\(=a-1\)
b: \(=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\cdot\dfrac{\sqrt{ab}+b+\sqrt{ab}-b}{\sqrt{a}\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)
c: \(=\dfrac{a\sqrt{b}+b}{a-b}\cdot\sqrt{\dfrac{ab+b^2-2b\sqrt{ab}}{a^2+2a\sqrt{b}+b}}\cdot\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{b}\left(a+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot\sqrt{\dfrac{b\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{b}\left(a+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot\dfrac{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a+\sqrt{b}}=b\)
TN
30 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\right)^2\)
\(\le\left(a+c+a-c\right)\left(b+c+b-c\right)\)
\(=2a\cdot2b=4ab=VP^2\)
\(\Rightarrow VT\le VP\) *ĐPCM*
Hình như là CMR >\(A+B>\left(\sqrt{2013}+\sqrt{2014}\right)^2\)
Do \(ab>2013a+2014b\)
\(\Rightarrow1>\frac{2013}{b}+\frac{2014}{a}\)
\(\Rightarrow a+b>\frac{2013}{b}\left(a+b\right)+\frac{2014}{a}\left(a+b\right)=2013+\frac{2013a}{b}+\frac{2014b}{a}+2014\)
Áp dụng BĐT Cô si với a,b>0 ta có:
\(\frac{2013a}{b}+\frac{2014b}{a}\ge2\sqrt{\frac{2013a}{b}.\frac{2014b}{a}}=2\sqrt{2013.2014}\)
\(\Rightarrow a+b>2013+2\sqrt{2013.2014}+2014=\left(\sqrt{2013}+\sqrt{2014}\right)^2\)
(căn 2013+2014)2 các bạn