Question

[Châu Trần]

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O,R) với OA=R\(\sqrt{2}\)Đường tròn tâm I đường kính OA cắt đường tròn (O) ở B và C.

1) Chứng minh AB,AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) và tính độ dài của AB, AC theo R

2) Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao?      

3) Đường thẳng OA cắt đường tròn (O) ở D và E ( D nằm giữa A và O). Kẻ cát tuyến AMN của đường tròn (O). Chứng minh AD.AE=AM.AN= hằng số 

4) Khi cát tuyến AMN quay quanh A thì trung điểm K của đoạn MN di động trên đường cố định nào? Hãy chứng minh điều ấy

5) Cát tuyến AMN cắt BC ở J. Chứng minh rằng O,K,J,I cùng nằm trên một đường tròn và AJ.AK=AB²

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

1) Do B, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO nên \(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\)  (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vậy nên AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xét tam giác vuông ABO có \(AO=R\sqrt{2};OB=R\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:

\(AB=\sqrt{AO^2-BO^2}=R\)

Vậy thì AC = AB = R.

2) Ta thấy tứ giác ABOC có AB = BO = OC = CA = R nên nó là hình thoi.

Lại có \(\widehat{ABO}=90^o\) nên ABOC là hình vuông.

3) Xét tam giác ADC và tam gác ACE có:

Góc A chung

\(\widehat{ACD}=\widehat{AEC}\)  (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung DC)

\(\Rightarrow\Delta ADC\sim\Delta ACE\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}\Leftrightarrow AD.AE=AC^2=R^2\) = hằng số.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có AM.AN = AB² = R² = hằng số.

Vậy nên AM.AN = AD.AE = R².

4) Xét đường tròn (O), ta có K là trung điểm dây cung MN nên theo liên hệ đường kính dây cung, ta có:   \(OK\perp MN\) hay \(\widehat{AKO}=90^o\)

Vậy thì K thuộc đường tròn đường kính OA.

Do AMN là cát tuyến nên K thuộc cung tròn BmC (trên hình vẽ).

5) Ta có ABOC là hình vuông nên AO và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Vậy thì BC qua tâm I.

Từ đó ta có \(\widehat{IJO}=90^o\)

Lại vừa chứng minh được \(\widehat{JKO}=90^o\).

Tứ giác IJKO có tổng hai góc đối bằng 180^o nên IJKO là tứ giác nội tiếp hay O, K, I, J cùng thuộc một đường tròn.

Ta có AB = AC nên \(\widebat{AB}=\widebat{AC}\Rightarrow\widehat{BKA}=\widehat{CBA}=\widehat{JBA}\)

Vậy thì \(\Delta ABJ\sim\Delta AKB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AK}=\frac{AJ}{AB}\Rightarrow AJ.AK=AB^2\)