Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét ΔABC có
BE là đường cao
CF là đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔBAC
Suy ra: AH\(\perp\)BC
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
CH//BD
Do đó: BHCD là hình bình hành
b: Ta có: BHCD là hình bình hành
nên Hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HD
hay M,H,D thẳng hàng
Ta có: ΔEBC vuông tại E
mà EM là đường trung tuyến
nên EM=BC/2(1)
Ta có: ΔFBC vuông tại F
mà FM là đường trung tuyến
nên FM=BC/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra ME=MF
hay ΔEMF cân tại M
1.
Câu 1:
a) $CD\perp AC, BH\perp AC$ nên $CD\parallel BH$
Tương tự: $BD\parallel CH$
Tứ giác $BHCD$ có hai cặp cạnh đối song song nhau (BH-CD và BD-CH) nên là hình bình hành
b)
Áp dụng bổ đề sau: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng 1 nửa cạnh huyền.
Ta có:
$BO$ là trung tuyến của tgv $ABD$ nên $BO=\frac{AD}{2}$
$CO$ là trung tuyến của tgv $ACD$ nên $CO=\frac{AD}{2}$
$\Rightarrow BO=CO(1)$
$OK\parallel AH, AH\perp BC$ nên $OK\perp BC(2)$
Từ $(1);(2)$ ta dễ thấy $\triangle OBK=\triangle OCK$ (ch-cgv)
$\Rightarrow BK=CK$ hay $K$ là trung điểm $BC$
Mặt khác:
$HBDC$ là hình bình hành nên $HD$ cắt $BC$ tại trung điểm mỗi đường. Mà $K$ là trung điểm $BC$ nên $K$ là trung điểm $HD$
Xét tam giác $AHD$ có $O$ là t. điểm $AD$, $K$ là t. điểm $HD$ nên $OK$ là đường trung bình của tam giác $AHD$ ứng với cạnh $AH$.
$\Rightarrow OK=\frac{AH}{2}=3$ (cm)
a) Xét tứ giác ADME có:
∠(DAE) = ∠(ADM) = ∠(AEM) = 90o
⇒ Tứ giác ADME là hình chữ nhật (có ba góc vuông).
b) Ta có ME // AB ( cùng vuông góc AC)
M là trung điểm của BC (gt)
⇒ E là trung điểm của AC.
Ta có E là trung điểm của AC (cmt)
Chứng minh tương tự ta có D là trung điểm của AB
Do đó DE là đường trung bình của ΔABC
⇒ DE // BC và DE = BC/2 hay DE // MC và DE = MC
⇒ Tứ giác CMDE là hình bình hành.
c) Ta có DE // HM (cmt) ⇒ MHDE là hình thang (1)
Lại có HE = AC/2 (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông AHC)
DM = AC/2 (DM là đường trung bình của ΔABC) ⇒ HE = DM (2)
Từ (1) và (2) ⇒ MHDE là hình thang cân.
d) Gọi I là giao điểm của AH và DE. Xét ΔAHB có D là trung điểm của AB, DI // BH (cmt) ⇒ I là trung điểm của AH
Xét ΔDIH và ΔKIA có
IH = IA
∠DIH = ∠AIK (đối đỉnh),
∠H1 = ∠A1(so le trong)
ΔDIH = ΔKIA (g.c.g)
⇒ ID = IK
Tứ giác ADHK có ID = IK, IA = IH (cmt) ⇒ DHK là hình bình hành
⇒ HK // DA mà DA ⊥ AC ⇒ HK ⊥ AC
a, - Ta có : Tứ giác AHIK là hình vuông .
=> \(\widehat{KAH}=90^o\)
=> \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=90^o\)
Mà tam giác ABC vuông tại A .
=> \(\widehat{DAC}=90^o\)
=> \(\widehat{A_2}+\widehat{A_3}=90^o\)
=> \(\widehat{A_1}=\widehat{A_3}\left(+\widehat{A_2}=90^o\right)\)
- Xét \(\Delta AKD\) và \(\Delta AHC\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A_1}=\widehat{A_3}\left(cmt\right)\\AK=AH\left(gt\right)\\\widehat{DKA}=\widehat{CHA}\left(=90^o\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta AKD\) = \(\Delta AHC\) ( Cgv - gn )
=> AD = AC ( cạnh tương ứng )
b,
b/Xét tứ giác OKIH có:
\(\widehat{KIH}+\widehat{IKH}+\widehat{KOH}+\widehat{OHI}=540\).Vì AHIK là h/vuông nên
\(\Leftrightarrow90+45+45+\widehat{KOH}=540\Rightarrow\widehat{KOH}=180\)
Suy ra KOH thẳng hàng.Mà H,K nằm trên đ/trung trực AI( AHIK là h/vuông) nên O cũng nằm trên đ/trung trực AI
\(\RightarrowĐPCM\)
O nằm trên đ/trung trực AI nên ta có:
\(OA=OI=\frac{1}{2}AE\)( Vì hbh ADEC có góc A vuông và AD=DC nên ADEC là h/vuông)
Mà OI=1/2AE suy ra \(\widehat{AIE}=90\)( Vì OI là đ/trung tuyến)
\(\Rightarrow AI\perp IE\)(1)
Ta lại có AHIK là h/vuông nên \(AI\perp HK\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra IE//HK suy ra KOEI là h/thang
Bài 2:
a: Xét tứ giác AMCK có
I là trung điểm của AC
I là trug điểm của MK
Do đó: AMCK là hình bình hành
mà \(\widehat{AMC}=90^0\)
nên AMCK là hình chữ nhật
b: Để AMCK là hình vuông thì AM=CM
=>AM=BC/2
=>ΔABC vuông tại A
a, ^DAK + ^BAH = 90
^ACH + ^BAH = 90
=> ^DAK = ^ACH
xét tam giác AHC và tam giác AKD có : ^AHC = ^AKD = 90
AH = AK do AHIK là hình vuông (gt)
=> tam giác AHC = tam giác AKD (cgv-gnk)
=> AD = AC (đn)
b, có ADEC là hình bình hành mà ^DAC = 90
=> ADEC là hình vuông (dh) => O là trung điểm của CD (tc)
xét tam giác CAD vuông tại A và tam giác CID vuông tại D
=> AO = CD/2 (đl) và OI = CD/2(đl)
=> AO = OI
=> O thuộc đường trung trực của AI (đl)
có AHIK là hình vuông => HA = HI = KA = KI => H và K thuộc đường trung trực của AI (đl)
=> O;H;K cùng nằm trên đường trung trực của AI
làm nốt ý còn lại của phần b
CEDA là hình vuông (câu b)
=> CD = AE (tc)
OI = CD/2 (cmt)
=> OI =AE/2
xét tam giác AIE
=> tam giác AIE vuông I
=> EI _|_ AI
AI _|_ KO do AHIK là hình vuông (gt)
=> KO // EI (đl)
xét tứ giác KOEI
=> KOEI là hình thang