Question

[Minh Bình]

 cho nửa (O), đường kính AB. C là điểm chuyển động trên nửa đường tròn đó. Vẽ hình vuông BCDE ra phía ngoài đường tròn

a) c/m A,C,D thẳng hàng (đã c/m)

b)Khi C chuyển động D chạy trên đường nào?

c) c/m CE luôn đi qua 1 điểm I cố định

d) E chạy trên đừng nào?

e) Tâm hình vuông trện chạy trên đường nào?

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

b.

Gọi I là điểm chính giữa cung AB \(\Rightarrow I\) cố định

Đồng thời ta có \(IA=IB\Rightarrow\Delta IAB\) vuông cân tại I

\(\Rightarrow\widehat{BAI}=45^0\)

Qua B kẻ đường thẳng vuông góc AB cắt AI kéo dài tại F \(\Rightarrow F\) cố định

Tam giác ABF vuông cân tại B (tam giác vuông có 1 góc \(\widehat{BAI}=45^0\)) 

\(\Rightarrow\widehat{AFB}=45^0\)

Đồng thời suy ra 3 điểm A,B,F thuộc đường tròn tâm I bán kính AI cố định.

\(BCDE\) là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{CDB}=45^0\Rightarrow\widehat{AFB}=\widehat{ADB}=45^0\)

Lại có F, D nằm cùng 1 phía nửa mặt phẳng bờ AB

\(\Rightarrow AFDB\) nội tiếp (2 góc bằng nhau cùng chắn AB)

\(\Rightarrow D\) thuộc đường tròn (I;IA) cố định khi C di động

c.

Do F thuộc (I;IA) \(\Rightarrow IB=ID\Rightarrow I\) thuộc trung trực của BD

Mà ABCD là hình vuông \(\Rightarrow AC\) là trung trực của BD

\(\Rightarrow I\in AC\)

Vậy CE luôn đi qua điểm I cố định

d.

\(\widehat{CEB}=45^0\) (BCDE là hình vuông), mà I, C, E thẳng hàng theo cmt

\(\Rightarrow\widehat{IEB}=\widehat{IFB}=45^0\)

Lại có E, F nằm cùng phía nửa mặt phẳng bờ IB

\(\Rightarrow EBIF\) nội tiếp

\(\Rightarrow E\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác IBF cố định

e.

Gọi G là tâm hình vuông \(\Rightarrow BD\) và CE vuông góc nhau tại G

\(\Rightarrow\widehat{CGB}=90^0\)

Do I, C, E thẳng hàng \(\Rightarrow\widehat{IGB}=90^0\)

\(\Rightarrow G\) thuộc đường tròn đường kính IB cố định

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]