Question

[dũng trần]

Câu 11. Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H. Các đường vuông góc với AB tại B và vuông góc với
AC tại C cắt nhau tại D.
a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm H,M,D thẳng hàng
c) Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh IB = IC
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác BDCH là hình thoi

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: ta có:BD\(\perp\)AB

CH\(\perp\)AB

Do đó: BD//CH

Ta có: CD\(\perp\)CA

BH\(\perp\)CA

Do đó: CD//BH

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD
BD//CH

Do đó: BHCD là hình bình hành

b: ta có: BHCD là hình bình hành

=>BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HD

=>H,M,D thẳng hàng

c: Ta có: ΔABD vuông tại B

mà BI là đường trung tuyến

nên \(BI=\dfrac{AD}{2}\left(1\right)\)

Ta có: ΔACD vuông tại C

mà CI là đường trung tuyến

nên \(CI=\dfrac{AD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra BI=CI

d: Để BDCH là hình thoi thì HB=HC

=>ΔHBC cân tại H

=>\(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)

Ta có: \(\widehat{HBC}+\widehat{ACB}=90^0\)(BH\(\perp\)AC)

\(\widehat{HCB}+\widehat{ABC}=90^0\)(CH\(\perp\)AB)

mà \(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)

nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)