Cho dãy số (Un) với \(U_n=\dfrac{4^n+3^n}{4^n+5^n}\) thì dãy bị chặn trên bởi?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BC
1
4 tháng 12 2023
\(u_n=\dfrac{n^2+1}{2n^2-3}\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{n^2+1}{n^2-1,5}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n^2-1,5+2,5}{n^2-1,5}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{2.5}{n^2-1,5}\right)< \dfrac{1}{2}\)
=>(Un) là dãy số bị chặn
23 tháng 11 2023
\(\text{Ta có:} \ u_n=\dfrac{\sqrt{n}}{n+9} \Rightarrow \dfrac{1}{u_n}=\dfrac{n+9}{\sqrt n}=\sqrt n+\dfrac{9}{\sqrt n} \\ \text{Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:} \\ \sqrt n + \dfrac{9}{\sqrt n} \geq 6 \ \text{hay} \ \dfrac{1}{u_n} \geq 6 \\ \Rightarrow u_n \leq \dfrac{1}{6} \\ \text{Vậy dãy} \ (u_n) \ \text{bị chặn trên bởi} \ \dfrac{1}{6}\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023
Ta có: \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} + 4}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2} + 2}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{n^2} + 2}}} \right) < \frac{1}{2}\).
Ta lại có: \[{u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} + 4}} > 0\]
Do đó \(0 < {u_n} < \frac{1}{2}\).
Vì vậy dãy số (un) bị chặn.
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023
a) Ta có: \(n \ge 1\; \Rightarrow n - 1 \ge 0\; \Rightarrow {u_n} \ge 0,\;\forall \;n \in {N^*}\;\)
Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi 0.
\(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để \(n - 1 < M,\;\forall \;n \in {N^*}\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\forall n \in {N^*},{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} > 0.\\{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{n + 2 - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1,\forall n \in {N^*}\\ \Rightarrow 0 < {u_n} < 1\end{array}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
c) Ta có:
\( - 1 < \sin n < 1\)
\( \Rightarrow - 1 < {u_n} < 1,\forall n \in {N^*}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
d) Ta có:
Nếu n chẵn, \({u_n} = - {n^2} < 0\), \(\forall n \in {N^*}\).
Nếu n lẻ, \({u_n} = {n^2} > 0\), \(\forall n \in {N^*}\).
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 8 2021
\(u_{n+1}=\dfrac{3}{2}\left(u_n-\dfrac{n+4}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)=\dfrac{3}{2}\left(u_n-\dfrac{3}{n+1}+\dfrac{2}{n+2}\right)\)
\(\Leftrightarrow u_{n+1}-\dfrac{3}{n+1+1}=\dfrac{3}{2}\left(u_n-\dfrac{3}{n+1}\right)\)
Đặt \(u_n-\dfrac{3}{n+1}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}\\v_{n+1}=\dfrac{3}{2}v_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội \(\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow v_n=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\)
\(\Rightarrow u_n=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}+\dfrac{3}{n+1}\)
29 tháng 11 2023
\(U_n=\dfrac{an^2-1}{n^2+3}\)
\(=\dfrac{an^2+3a-3a-1}{n^2+3}\)
\(=a+\dfrac{-3a-1}{n^2+3}\)
Để dãy này là dãy tăng thì \(U_{n+1}>U_n\)
=>\(a+\dfrac{-3a-1}{\left(n+1\right)^2+3}>a+\dfrac{-3a-1}{n^2+3}\)
=>\(\dfrac{-3a-1}{\left(n+1\right)^2+3}>\dfrac{-3a-1}{n^2+3}\)
=>\(\dfrac{3a+1}{\left(n+1\right)^2+3}< \dfrac{3a+1}{n^2+3}\)(1)
TH1: 3a+1>0
=>a>-1/3
(1)=>\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}< \dfrac{1}{n^2+3}\)
=>\(\left(n+1\right)^2+3>n^2+3\)
=>\(\left(n+1\right)^2>n^2\)
=>\(n^2+2n+1-n^2>0\)
=>\(2n+1>0\)(luôn đúng với mọi n>=1)
TH2: 3a+1<0
=>a<-1/3
(2) trở thành \(\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}>\dfrac{1}{n^2+3}\)
=>\(\left(n+1\right)^2+3< n^2+3\)
=>\(n^2+2n+1-n^2< 0\)
=>2n+1<0
=>2n<-1
=>\(n< -\dfrac{1}{2}\)(loại)
Vậy: \(a>-\dfrac{1}{3}\)
19 tháng 5 2017
a) Bị chặn trên vì \(u_n\le1,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
b) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge2,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
c) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge\sqrt{3},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
d) Bị chặn vì \(0< u_n\le\dfrac{1}{2},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
HT
18 tháng 2 2021
\(u_2=\sqrt{2}\left(2+3\right)-3=5\sqrt{2}-3\)
\(u_3=\sqrt{\dfrac{3}{2}}.5\sqrt{2}-3=5\sqrt{3}-3\)
\(u_4=\sqrt{\dfrac{4}{3}}.5\sqrt{3}-3=5\sqrt{4}-3\)
....
\(\Rightarrow u_n=5\sqrt{n}-3\)
\(\Rightarrow\lim\limits\dfrac{u_n}{\sqrt{n}}=\lim\limits\dfrac{5\sqrt{n}-3}{\sqrt{n}}=5\)