Đường tròn (O;R) có đường kính AB. H là trung điểm của OB. Vẽ dây CD vuông góc với OB tại H. K là trung điểm của AC. Lấy I đối xứng với A qua H a) Chứng minh 4 điểm C,HO,K cùng thuộc một đường tròn b) Chứng minh Tứ giác ADIC là hình...
Đọc tiếp
Đường tròn (O;R) có đường kính AB. H là trung điểm của OB. Vẽ dây CD vuông góc với OB tại H. K là trung điểm của AC. Lấy I đối xứng với A qua H
a) Chứng minh 4 điểm C,HO,K cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh Tứ giác ADIC là hình thoi.
a: ΔOAC cân tại O
mà OK là đường trung tuyến
nên OK\(\perp\)AC
Xét tứ giác OHCK có \(\widehat{OHC}+\widehat{OKC}=90^0+90^0=180^0\)
nên OHCK là tứ giác nội tiếp
=>O,H,C,K cùng thuộc 1 đường tròn
b: ΔOCD cân tại O
mà OH là đường cao
nên H là trung điểm của CD
Xét tứ giác OCBD có
H là trung điểm chung của OB và CD
=>OCBD là hình bình hành
Hình bình hành OCBD có OC=OD
nên OCBD là hình thoi
=>OC=CB=BD=DO
Xét ΔCBO có CB=CO=OB
nên ΔCBO đều
=>\(\widehat{CBA}=60^0\)
Xét ΔCAB có \(tanCBA=\dfrac{CA}{CB}\)
=>\(\dfrac{CA}{CB}=tan60=\sqrt{3}\)
=>\(CA=\sqrt{3}\cdot CB\)
Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}CA^2=AH\cdot AB\\CB^2=BH\cdot BA\end{matrix}\right.\)
=>\(\dfrac{CA^2}{CB^2}=\dfrac{AH\cdot AB}{BH\cdot AB}\)
=>\(\dfrac{AH}{BH}=\left(\sqrt{3}\right)^2=3\)
=>AH=3HB
I đối xứng A qua H nên H là trung điểm của AI
Xét tứ giác ACID có
H là trung điểm chung của AI và CD
nên ACID là hình bình hành
Hình bình hành ACID có AI\(\perp\)CD
nên ACID là hình thoi