Question

[NguyenBaoKhanh]

Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (I) có đường kính HB cắt
cạnh AB tại D. Vẽ đường tròn (K) đường kính HC cắt AC tại E.
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
b) Chứng minh AD.AB AE.AC  .
c) Cho AB 3cm,BC 5cm   . Tính DE và diện tích tứ giác DEKI.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (I) có

ΔHDB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó: ΔHDB vuông tại D

=>HD\(\perp\)AB

Xét (K) có

ΔCEH nội tiếp

CH là đường kính

Do đó: ΔCEH vuông tại E

=>HE\(\perp\)AC

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

b: Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

c: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=16\)

=>AC=4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>AH=2,4(cm)

ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE=2,4(cm)

\(\widehat{EDI}=\widehat{EDH}+\widehat{IDH}\)

\(=\widehat{HAC}+\widehat{IHD}\)

\(=\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90^0\)

=>ED\(\perp\)DI

\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{KHE}+\widehat{HAB}\)

\(=\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)

=>EK\(\perp\)ED

mà ED\(\perp\)DI

nên EK//DI 

Xét tứ giác EDIK có

EK//DI

ED\(\perp\)EK

Do đó: EDIK là hình thang vuông
\(DI+EK=\dfrac{1}{2}HB+\dfrac{1}{2}HC=\dfrac{1}{2}\cdot\left(HB+HC\right)=2,5\left(cm\right)\)

\(S_{EDIK}=\dfrac{1}{2}\cdot ED\cdot\left(EK+DI\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot2,4\cdot2,5=3\left(cm^2\right)\)