chox,y,z>0 và x+y+z=3 CMR
P=\(\dfrac{1}{x^2+2yz}+\dfrac{1}{y^2+2zx}+\dfrac{1}{z^2+2xy}\ge1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 9 2023
Lời giải:
Từ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$
$\Rightarrow xy+yz+xz=0$
Khi đó:
$x^2+2yz=x^2+yz-xz-xy=(x^2-xy)-(xz-yz)=x(x-y)-z(x-y)=(x-z)(x-y)$
Tương tự với $y^2+2zx, z^2+2xy$ thì:
$P=\frac{yz}{(x-z)(x-y)}+\frac{xz}{(y-z)(y-x)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)}$
$=\frac{-yz(y-z)-xz(z-x)-xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=\frac{-[yz(y-z)+xz(z-x)+xy(x-y)]}{-[xy(x-y)+yz(y-z)+xz(z-x)]}=1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 1 2019
ĐK: \(x,y,z\ne0\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=0\Leftrightarrow xy+xz+yz=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=-xz-yz\\xz--xy-yz\\yz=-xy-xz\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(x^2+2yz=x^2+yz+yz=x^2+yz-xy-xz=x\left(x-y\right)-z\left(x-y\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\Rightarrow\dfrac{1}{x^2+2yz}=\dfrac{1}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{y^2+2xz}=\dfrac{1}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}=\dfrac{-1}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\)
\(\dfrac{1}{z^2+2xy}=\dfrac{1}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\dfrac{1}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\dfrac{1}{x^2+2yz}+\dfrac{1}{y^2+2xz}+\dfrac{1}{z^2+2xy}=\dfrac{1}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{-1}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\dfrac{1}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(=\dfrac{y-z-\left(x-z\right)+x-y}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=\dfrac{y-z-x+z+x-y}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=0\) (đpcm)
UK
13 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\dfrac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
H
21 tháng 12 2019
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\)
\(A=\frac{yz}{x^2+yz+-xy-xz}+\frac{xz}{y^2+zx-xy-yz}+\frac{xy}{z^2+xy-xz-yz}\)
\(A=\frac{yz}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{xz}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\frac{xy}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
\(A=\frac{yz\left(y-z\right)-xz\left(x-z\right)+xy\left(x-y\right)}{\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\)
\(A=\frac{\left(z-x\right)\left(y-z\right)\left(y-x\right)}{\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}=1\)
