Question

[Giang Hoàng Gia Linh]

Bài 19. Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia
CB lấy điểm F, trên ta đối của tia DC lấy điểm G, trên tia đối của tia AD lấy
điểm H sao cho BE = CF = DG = AH.
1. Chứng minh tứ giác EF GH là hình bình hành.
2. Chứng minh hình bình hành EF GH và hình thoi ABCD có chung tâm đối
xứng.
3. Nếu ABCD là hình vuông thì EF GH là hình gì? Tại sao?

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1:

ta có:ABCD là hình thoi

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{BCD};\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

Ta có: \(\widehat{BAD}+\widehat{EAH}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{BCD}+\widehat{FCD}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\)

nên \(\widehat{EAH}=\widehat{FCD}\)

Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{EBC}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{ADC}+\widehat{ADG}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

nên \(\widehat{EBC}=\widehat{ADG}\)

Ta có: \(DA+AH=DH\)

\(AB+BE=AE\)

\(BC+CF=BF\)

\(CD+DG=CG\)

mà DA=AB=BC=CD và AH=BE=CF=DG

nên DH=AE=BF=CG

Xét ΔHAE và ΔFCG  có

HA=FC

\(\widehat{HAE}=\widehat{FCG}\)

AE=CG

Do đó: ΔHAE=ΔFCG

=>HE=FG

Xét ΔHDG và ΔFBE  có

DH=BF

\(\widehat{HDG}=\widehat{BFE}\)

DG=BE

Do đó: ΔHDG=ΔFBE

=>HG=FE

Xét tứ giác GHEF có

GH=EF

GF=HE

Do đó: GHEF là hình bình hành

2: Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có: ABCD là hình thoi

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét tứ giác AHCF có

AH//CF

AH=CF

Do đó: AHCF là hình bình hành

=>AC cắt HF tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC

nên O là trung điểmcủa HF

Ta có: EHGF là hình bình hành

=>EG cắt HF tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của HF

nên O là trung điểm của EG

=>Hình bình hành EHGF và hình thoi ABCD có chung tâm