BT1: CMR : \(\frac{x^2+x+3}{\sqrt{x^2+x+3}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+x+3}}\) Lớn hơn hoặc bằng \(2\)
BT2: CMR : \(\frac{x^2+x+7}{\sqrt{x^2+x+3}}\) Lớn hơn hoặc bằng \(4\)
Giúp mình nha..........................................
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PN
23 tháng 7 2016
Đặt \(J=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\) với \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z\le1\end{cases}}\left(i\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(B.C.S\) cho hai bộ số thực không âm gồm có \(\left(x^2;\frac{1}{x^2}\right)\) và \(\left(1^2+9^2\right),\) ta có:
\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(1^2+9^2\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{x}\right)\) \(\left(1\right)\)
Đơn giản thiết lập hai bất đẳng thức còn lại theo vòng hoán vị \(y\rightarrow z\) , ta cũng có:
\(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(y+\frac{9}{y}\right)\) \(\left(2\right);\) \(\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{z}\right)\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế các bđt \(\left(1\right);\) \(\left(2\right);\) và \(\left(3\right)\) , suy ra:
\(J\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\)
Ta có:
\(K=x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\)
\(=\left(9x+\frac{1}{x}\right)+\left(9y+\frac{1}{y}\right)+\left(9z+\frac{1}{z}\right)+8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-8\left(x+y+z\right)\)
Khi đó, áp dụng bđt Cauchy đối với từng ba biểu thức đầu tiên, tiếp tục với bđt Cauchy-Swarz dạng Engel cho biểu thức thứ tư, chú ý rằng điều kiện đã cho \(\left(i\right)\) , ta có:
\(K\ge2\sqrt{9x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{9y.\frac{1}{y}}+2\sqrt{9z.\frac{1}{z}}+\frac{72}{x+y+z}-8\left(x+y+z\right)\)
\(=6+6+6+72-8=82\)
Do đó, \(K\ge82\)
Suy ra \(J\ge\frac{82}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}\) (đpcm)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
19 tháng 5 2022
a: Đặt \(\sqrt{x^2+x+3}=a\)
Ta sẽ có \(\dfrac{a^2}{a}+\dfrac{1}{a}=a+\dfrac{1}{a}\ge2\cdot\sqrt{a\cdot\dfrac{1}{a}}=2\left(đpcm\right)\)
b: Đặt \(\sqrt{x^2+x+3}=b\)
Ta sẽ có \(\dfrac{b^2+4}{b}=b+\dfrac{4}{b}\ge2\cdot\sqrt{b\cdot\dfrac{4}{b}}=4\)
14 tháng 8 2016
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{z}};y+z\ge2\sqrt{yz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{x}};z+x\ge2\sqrt{xz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{y}}.\)( vì xyz=1)
=> P\(\ge\)\(\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\)+ \(\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\\b=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\\c=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\end{cases}\left(a;b;c\ge0\right)}\)<=> \(\hept{\begin{cases}4a+b=2c+9z\sqrt{z}\\4b+c=2a+9x\sqrt{x}\\4c+a=2b+9y\sqrt{y}\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}z\sqrt{z}=\frac{4a+b-2c}{9}\\x\sqrt{x}=\frac{4b+c-2a}{9}\\y\sqrt{y}=\frac{4c+a-2b}{9}\end{cases}}\)
Do đó:
P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\cdot\left(\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}+\frac{4c+a-2b}{b}\right)\)
<=> P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\left(4\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right)-6\right)\)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\cdot\left(4\cdot3\cdot\sqrt[3]{\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}}-6\right)\)( Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ko âm)
<=> P \(\ge\frac{2}{9}\left(12+3-6\right)=2\)( đpcm)
Dấu = khi x=y=z=1.
a, \(=\frac{x^2+x+4}{\sqrt{x^2+x+3}}\), Xét 2 trường hợp \(x\ge0\)thì \(\sqrt{x^2+x+3}\)lớn hơn 1.5
vì \(\sqrt{3}=1.732050808>1.5\)
... Trường hợp x<0 thì \(x^2-x+3\ge3\)
=> \(\sqrt{x^2+x+3}>1.5\)
Ta xét tương tự với trường hợp \(x^2+x+4\)lớn hơn hoặc bằng 4 với 2 TH:
=> Biểu thức sẽ lớn hơn : \(\frac{4}{1,5}>2\)
b, C/m tương tự với vế trên luôn lớn hơn hoặc = 7 ;
Khi ấy biểu thức sẽ lớn hơn:
\(\frac{7}{\sqrt{3}}=4.041451884>4\)
=>ĐPCM