Cho x, y là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+\frac{x^2+y^2}{xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 6 2021
Ta có:\(P=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}=\left(\frac{x+y}{4\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\right)+\frac{3\left(x+y\right)}{4\sqrt{xy}}\ge2\sqrt{\frac{x+y}{4\sqrt{xy}}.\frac{\sqrt{xy}}{x+y}}+\frac{3.2\sqrt{xy}}{4\sqrt{xy}}\)
\(=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi x=y
Vậy P đạt GTNN của P là 5/2 khi x=y
-.-
XO
17 tháng 2 2022
Ta có : 2P = \(\frac{\sqrt{4x^2-4xy+4y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{4y^2-4yz+4z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{4z^2-4zx+4x^2}}{z+x+2y}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(2x-y\right)^2+\left(\sqrt{3}y\right)^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{\left(2y-z\right)^2+\left(\sqrt{3}z\right)^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{\left(2z-x\right)^2+\left(\sqrt{3}x\right)^2}}{z+x+2y}\)
Lại có \(\frac{\sqrt{\left[\left(2x-y\right)^2+\left(\sqrt{3}y\right)^2\right]\left[\left(1^2+\left(\sqrt{3}\right)^2\right)\right]}}{x+y+2z}\ge\frac{\left[\left(2x-y\right).1+3y\right]}{x+y+2z}=\frac{2\left(x+y\right)}{x+y+2z}\)
=> \(\sqrt{\frac{\left(2x-y\right)^2+\left(\sqrt{3}y\right)^2}{x+y+2z}}\ge\frac{x+y}{x+y+2z}\)(BĐT Bunyakovsky)
Tương tự ta đươc \(2P\ge\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{2x+y+z}+\frac{z+x}{2y+z+x}\)
Đặt x + y = a ; y + z = b ; x + z = c
Khi đó \(2P\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)
\(\ge\left(a+b+c\right).\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}-3\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
=> \(P\ge\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z
16 tháng 2 2022
bài 8 : bỏ dấu hoặc rồi tính
a;( 17 - 299) + ( 17 - 25 + 299)
VT
15 tháng 9 2017
ta có \(\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)
tương tự ta có các trường hợp còn lại và ta có
\(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y}\right)\)
đặt \(x+y=a;y+z=b;z+x=c\)
=> \(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
đặt \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ca+ca}\)
Áp dụng bđt svác sơ ta có
\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
mạt khác Áp dụng bđt cô si ta có
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ac\end{cases}}\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
=> \(A\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
=> \(S\ge\frac{3}{4}\)
dấu = xảy ra <=> x=y=z>o
VT
15 tháng 9 2017
ta có \(\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}xy+\frac{1}{4y^2}+\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{2}xy+\frac{3}{4}y^2}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x^2+2xy+y^2\right)+\frac{3}{4}\left(x^2-2xy+y^2\right)}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\)
KN
22 tháng 2 2020
\(x+y=1\Rightarrow2\sqrt{xy}\le1\Rightarrow\sqrt{xy}\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)
Áp dụng bđt cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{xy}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}.\frac{1}{xy}}=3.\frac{1}{xy}\ge3.4=12\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 1 2021
Mình nghĩ phần phân thức là $3x+3y+2z$ thay vì $3x+3y+3z$. Nếu là vậy thì bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx=5. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{3x 3y 2z}{\sqrt{6\left(... - Hoc24
MT
2 tháng 1 2021
mình cảm ơn bạn nhiều ạ <3 bạn có thể giúp mình mấy câu mình vừa đăng không
Với x, y thực dương áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(P=\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+\frac{x^2+y^2}{xy}\)
\(=\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+\frac{\left(x+y\right)^2-2xy}{xy}\)
\(=\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+\left(\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}+4\right)-6\)
\(\ge\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+2\sqrt{\frac{4\left(x+y\right)^2}{xy}}-6\)
\(=\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}+\frac{4\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}}-6\)
\(\ge2\sqrt{\frac{16\sqrt{xy}}{x+y}.\frac{4\left(x+y\right)}{xy}}-6=2\sqrt{16.4}-6=10\)
Vậy Pmin = 10 tại x = y.
áp dụng bđt cauchy ->x+y\(\supseteq\)2\(\sqrt{xy}\)
x2+y2\(\supseteq\)2xy
nên P\(\supseteq\)\(\frac{16\sqrt{xy}}{2\sqrt{xy}}\)+\(\frac{2xy}{xy}\)=8+2=10
dấu = xảy ra\(\Leftrightarrow\)x=y