Chứng minh rằng: \(\sqrt{3.4+\dfrac{1}{5}}+\sqrt{4.5+\dfrac{1}{6}}+\sqrt{5.6+\dfrac{1}{7}}+...+\sqrt{100.101+\dfrac{1}{102}}< 5096\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 6 2021
Bạn tham khảo câu số 9:
mọi người giúp em mấy bài này với ạ =((( - Hoc24
PT
29 tháng 4 2017
\(\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+\dfrac{1}{5.6}+...+\dfrac{1}{100.101}\)\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{101}\)\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{101}=\dfrac{99}{202}\)
30 tháng 4 2017
CM công thức :
\(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+a}=\dfrac{n+a}{n\left(n+a\right)}-\dfrac{n}{n\left(n+a\right)}=\dfrac{a}{n\left(n+a\right)}\)Nhận xét :
\(\dfrac{1}{2.3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3.4}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4};...;\dfrac{1}{100.101}=\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{101}\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{101}\)
\(\dfrac{\Rightarrow1}{2}-\dfrac{1}{101}\)
=\(\dfrac{101}{202}-\dfrac{2}{202}=\dfrac{99}{202}\)
~ chúc bn học tốt~
22 tháng 11 2021
\(\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\dfrac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{k-k-1}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\\ \Leftrightarrow\text{Đặt}\text{ }A=\dfrac{1}{3\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}+\dfrac{1}{5\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+...+\dfrac{1}{4021\left(\sqrt{2011}+\sqrt{2010}\right)}< \dfrac{1}{2\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}+\dfrac{1}{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+...+\dfrac{1}{2\left(\sqrt{2011}+\sqrt{2010}\right)}\\ \Leftrightarrow A< \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2011}+\sqrt{2010}}\right)\)
\(\Leftrightarrow A< \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2011}-\sqrt{2010}\right)\\ \Leftrightarrow A< \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2011}-1\right)< \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2011}-1}{\sqrt{2011}}=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2011}}\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2018
Lời giải:
a) Ta thấy: \(a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0, \forall a,b>0\)
\(\Rightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}>0\Rightarrow \frac{1}{a+b}\le \frac{1}{2\sqrt{ab}}\).
Vì $a> b$ nên dấu bằng không xảy ra . Tức \(\frac{1}{a+b}< \frac{1}{2\sqrt{ab}}\)
Ta có đpcm
b)
Áp dụng kết quả phần a:
\(\frac{1}{3}=\frac{1}{1+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.1}}\)
\(\frac{1}{5}=\frac{1}{3+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.3}}\)
\(\frac{1}{7}=\frac{1}{4+3}< \frac{1}{2\sqrt{4.3}}\)
.....
\(\frac{1}{4021}=\frac{1}{2011+2010}< \frac{1}{2\sqrt{2011.2010}}\)
Do đó:
\(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{5}+...+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{4021}\)
\(< \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2\sqrt{2.1}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3.2}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2\sqrt{4.3}}+....+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{2\sqrt{2011.2010}}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{2010}}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}< \frac{1}{2}\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 6 2021
Lời giải:
Gọi tổng trên là $A$. Ta có:
\(2A>\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\)
\(2A>\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{1}+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+\sqrt{4})(\sqrt{4}-\sqrt{3})}+...+\frac{\sqrt{81}-\sqrt{80}}{(\sqrt{80}+\sqrt{81})(\sqrt{81}-\sqrt{80})}\)
\(2A>(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+....+(\sqrt{81}-\sqrt{80})\)
\(2A>\sqrt{81}-1=8\Rightarrow A>4\)
Ta có đpcm.