cho tam giác vuông abc m là 1 điểm trong tam giác gọi x,y,z là khoảng cách từ m đến 3 cạnh xác định vị trí m sao cho x^2+y^2+z^2 nhỏ nhất
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 7 2017
BẠN TỰ VẼ HÌNH NHA
Giải
Gọi cạnh tam giác đều ABC la a, chiều cao là h.Ta có:
a) Ta có Stam giác BMC+Stam giác CMA+Stam giác AMB =Stam giác ABC
<=>(1/2)ax+(1/2)ay+(1/2)az=(1/2)ah <=> (1/2)a.(x+y+z)=(1/2)ah
<=>x+y+z=h không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
b) x2+y2\(\ge\)2xy ; y2+z2\(\ge\)2yz ; z2+x2\(\ge\)2zx
=>2.(x2+y2+z2) \(\ge\)2xy+2xz+2yz
=>3.(x2+y2+z2) \(\ge\)x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
=>x2+y2+z2 \(\ge\)(x+y+z)2/3=h2/3 không đổi
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
Vậy để x2 + y2 + z2 đạt giá trị nhỏ nhất thì M là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC hay M là tâm của tam giác ABC
20 tháng 7 2017
\(a.\)Ta có: \(S_{\Delta BMC}=\frac{BC.x}{2}\)\(\Rightarrow\)\(x=\frac{2.S_{\Delta MBC}}{BC}\)
\(S_{\Delta BMA}=\frac{BA.z}{2}\)\(\Rightarrow\)\(z=\frac{2.S_{\Delta BMA}}{AB}\)
\(S_{\Delta AMC}=\frac{AC.y}{2}\)\(\Rightarrow\)\(y=\frac{2.S_{\Delta AMC}}{AC}\)
mà \(\Delta ABC\) đều nên AB = BC = CA
suy ra \(x+y+z=\frac{2\left(S_{\Delta AMC}+S_{\Delta BMA}+S_{\Delta BMC}\right)}{AB}\)
suy ra đpcm
4 tháng 12 2021
1.
Gọi cạnh tam giác ABC là a
\(S_{ABC}=S_{AMB}+S_{BMC}+S_{AMC}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{2}ah=\dfrac{1}{2}ax+\dfrac{1}{2}ay+\dfrac{1}{2}az\\ \Leftrightarrow x+y+z=h\)
Lại có \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=h^2\left(bunhia\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}h^2\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow M\) là giao 3 đường p/g của \(\Delta ABC\)
26 tháng 7 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 bộ số \(\left(\sqrt{ax},\sqrt{by},\sqrt{cz}\right)\) và \(\left(\sqrt{\frac{a}{x}};\sqrt{\frac{b}{y}};\sqrt{\frac{c}{z}}\right)\)có:
\(\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\ge\left(\sqrt{ax}.\sqrt{\frac{a}{x}}+\sqrt{by}.\sqrt{\frac{b}{y}}+\sqrt{cz}.\sqrt{\frac{c}{z}}\right)^2\)
Suy ra \(\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)(1)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\), tức là M cách đều BC,CA,AB hay M là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC
Ta có \(2S_{ABC}=2S_{BMC}+2S_{CMA}+2S_{AMB}=ax+by+cz\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S_{ABC}}=const\)
Vậy Min \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S_{ABC}}\). Đạt được khi M là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC.