Cho \(\Delta ABC\) có 3 đường phân giác \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(I\). Chứng minh rằng: \(\frac{AI^2}{AB.AC}+\frac{BI^2}{BA.BC}+\frac{CI^2}{CA.CB}=1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 12 2019
Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt AC; BC lần lượt tại M và N
Xét \(\Delta\)CMN có: CO là phân giác đồng thời là đường cao
=> \(\Delta\)CMN cân
=> ^CMN = ^CNM => ^CMO = ^CNO => ^AMO = ^BNO
=> ^MAO + ^AOM = ^NBO + ^BON ( 1)
Xét trong \(\Delta\)BOA ta có: ^ABO + ^BAO = ^AOM + ^BON ( = 180 \(^o\)- ^AOB )
=> ^NBO + ^MAO = ^AOM+ ^BON ( AO ; BO là phân giác ^A; ^B ) (2)
Từ (1)- (2) => ^AOM - ^NBO = ^NBO - ^AOM
=> ^AOM = ^NBO (3)
Từ (3) dễ dàng chứng minh đươc \(\Delta\)AOM ~ \(\Delta\)OBN ~ \(\Delta\)ABO ( g-g ) ( tự chứng minh )
Có: \(\Delta\)AOM ~ \(\Delta\)OBN => \(\frac{AM}{ON}=\frac{OM}{BN}\)=> AM.BN = OM. ON (4)
Có: \(\Delta\)OBN ~ \(\Delta\)ABO => \(\frac{OB}{BN}=\frac{AB}{OB}\)=> OB.OB = AB.BN => \(\frac{OB^2}{AB.BC}=\frac{BN}{BC}\)(5)
Có: \(\Delta\)AOM ~ \(\Delta\)ABO => \(\frac{OA}{AM}=\frac{AB}{OA}\)=> OA.OA =AM.AB => \(\frac{OA^2}{AB.AC}=\frac{AM}{AC}\)(6)
Xét \(\Delta\)cân CMN có: OM = ON ; CM = CN
Xét \(\Delta\)CON vuông tại O => CN\(^2\)= ON\(^2\)+ OC\(^2\)
=> OC \(^2\)= CN\(^2\)- ON\(^2\)= CN.CM - ON.OM = ( BC - BN ) ( AC - AM ) - ON.OM
= BC.AC - BN. AC - BC.AM + BN. AM - ON . OM = BC. AC - BN.AC - BC.AM ( theo 4 => BN. AM - ON . OM = 0)
=> \(\frac{OC^2}{CA.CB}=1-\frac{BN}{BC}-\frac{AM}{AC}\)(7)
Từ (5); (6) (7) => \(\frac{OC^2}{AC.BC}=1-\frac{OA^2}{AB.AC}-\frac{OB^2}{BA.BC}\)
Chuyển vế => Điều phải chứng minh
25 tháng 1 2020
Khai bút thoi nào,hy vọng năm mới nhiều may mắn :)
Ký hiệu như hình vẽ nhá :)
Áp dụng định lý đường phân giác ta có:
\(\frac{CE}{CA}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{CE}{CA+CE}=\frac{a}{a+c}\Rightarrow\frac{CE}{b}=\frac{a}{a+c}\Rightarrow CE=\frac{ab}{a+c}\)
Áp dụng định lý đường phân giác lần nữa:
\(\frac{BO}{OE}=\frac{BC}{CE}=a\cdot\frac{a+c}{ab}=\frac{a+c}{b}\Rightarrow\frac{BO}{OE+OB}=\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{BO}{BE}\)
Chứng minh tương tự:\(\frac{CO}{CF}=\frac{a+b}{a+b+c}\)
Mà \(\frac{BO}{BE}\cdot\frac{CO}{CF}=\frac{1}{2}\) nên \(\frac{a+c}{a+b+c}\cdot\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2a^2+2ab+2ac+2cb=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2\)
=> đpcm
23 tháng 2 2019
Bạn kham khảo link này nhé.
Câu hỏi của Đào Gia Khanh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Qua I vẽ đường thẳng vuông góc với CI cắt AC. BC lần lượt tại M, N. Khi đó CM=CN, IM=IN.
Ta chứng minh được \(\widehat{AIB}=180-\widehat{BAI}-\widehat{ABI}=180-\frac{BAC}{2}-\frac{ABC}{2}=\frac{360-\left(ABC+BÃC\right)}{2}\)
\(=\frac{360-180+ACB}{2}=90+\frac{ACB}{2}\)
\(AMI=180-CMN=180-\frac{180-ACB}{2}=\frac{360-180+ACB}{2}=90+\frac{ACB}{2}\)
Chứng minh tương tự ta cũng có: \(BNI=90+\frac{ACB}{2}\)
Từ đó suy ra: \(\Delta AIB\infty\Delta AMI\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AI}{AM}=\frac{AB}{AI}\Rightarrow AI^2=AB.AM\Rightarrow\frac{AI^2}{AB.AC}=\frac{AM}{AC}\)
\(\Delta AIB\infty\Delta INB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{BI}{IN}=\frac{AB}{BN}\Rightarrow BI^2=AB.BN\Rightarrow\frac{BI^2}{AB.BC}=\frac{BN}{BC}\)
\(\Delta AMI\infty\Delta INB\Rightarrow\frac{AM}{IN}=\frac{IM}{BN}\Rightarrow AM.BN=IM.IN=IM^2\)
Áp dụng định lí Py- ta-go vào tam gác ICM ta có:
\(IM^2+CI^2=CM^2\Rightarrow BN.AM+CI^2=CM.CN\Rightarrow BN.AM+CN.AM+CI^2=CM.CN+CN.AM\)
\(\Rightarrow BC.AM+CI^2=CN.AC\Rightarrow BC.AM+CI^2+AC.BN=CN.AC+AC.BN\)
\(\Rightarrow BC.AM+BN.AC+CI^2=AC.BC\Rightarrow\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CI^2}{AC.BC}=1\)
\(\Rightarrow\frac{AI^2}{AB.AC}+\frac{BI^2}{BA.BC}+\frac{CI^2}{CA.CB}=1\)