cho(O:R) 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên OB lấy M khác O và M tia CM cắt O tại N đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến qua N tại P chứng minh.
a, Tứ giác OMNP nội tiếp
b, CM.CN=2R\(^2\)
c, DP là tiếp tuyến đường tròn O
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
DD
Dung Đoàn
26 tháng 3 2023
Đúng(0)
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 6 2017
1. Ta có ÐOMP = 900 ( vì PM ^ AB ); ÐONP = 900 (vì NP là tiếp tuyến ).
Như vậy M và N cùng nhìn OP dưới một góc bằng 900 => M và N cùng nằm trên đường tròn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp.
2. Tứ giác OMNP nội tiếp => ÐOPM = Ð ONM (nội tiếp chắn cung OM)
Tam giác ONC cân tại O vì có ON = OC = R => ÐONC = ÐOCN
=> ÐOPM = ÐOCM.
Xét hai tam giác OMC và MOP ta có ÐMOC = ÐOMP = 900; ÐOPM = ÐOCM => ÐCMO = ÐPOM lại có MO là cạnh chung => DOMC = DMOP => OC = MP. (1)
Theo giả thiết Ta có CD ^ AB; PM ^ AB => CO//PM (2).
Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành.
3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có ÐMOC = 900 ( gt CD ^ AB); ÐDNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐMOC =ÐDNC = 900 lại có ÐC là góc chung => DOMC ~DNDC
=> => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
.
14 tháng 2 2017
Tự vẽ hình:
a) ta có: Nx là tiếp tuyến => \(\widehat{PNO}=90\)
d\(⊥\)AB=> \(\widehat{OMP}=90\)
=> tứ giác OMNP nội tiếp
b) Ta có: CO II MP ( cùng vuông góc với AB)
Tứ giác OMNP nội tiếp => \(\widehat{OPM}=\widehat{ONM}\) (1)
Tam giác cân OCN ( OC=ON=R) có: \(\widehat{OCN}=\widehat{ONM}\) (2)
Từ (1), (2) => \(\widehat{OPM}=\widehat{OCM}\)(**)
Từ (*), (**) => OCMP là hình bình hành
c) Xét \(\Delta OCN\)là tam giác cân
và \(\Delta MCD\)là tam giác cân ( do C,D đối xứng nhau qua AB) có chung góc C
=> \(\Delta OCN\)đồng dạng \(\Delta MCD\)
=>\(\frac{CN}{CD}=\frac{OC}{CM}\Rightarrow CN.CM=OC.CD=2R^2=const\)
Vậy CN.CM không đổi (ĐPCM)
28 tháng 4 2020
Vì NP là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow PM\perp ON\Rightarrow\widehat{ONP}=90^0\)
Mà \(\widehat{OMP}=90^0\Rightarrow\widehat{OMP}=\widehat{ONP}\)
\(\Rightarrow\) ◊OMNP nội tiếp(1)
\(\Rightarrow O,M,N,P\) cùng thuộc một đường tròn
Do CD là đường kính của (O) \(\Rightarrow DN\perp CN\Rightarrow\widehat{COM}=\widehat{CND}=90^0\)
\(\Rightarrow\text{◊ }\)OMND nội tiếp
\(\Rightarrow O,M,N,D\)cùng thuộc một đường tròn (2)
\(\Rightarrow\widehat{MPD}=180^0-\widehat{DOM}=180^0-90^0=90^0\)
\(\Rightarrow MP\perp DP\Rightarrow OD//MP\)
\(\Rightarrow OMPD\) là hình bình hành
\(\Rightarrow OD=MP\Rightarrow MP=R\)
\(\Rightarrow MP=OC\)Vì MP//OC \(\left(\perp AB\right)\) \(\Rightarrow CMPO\) là hình bình hành