Cho a,b dương thỏa mãn a+b\(\ge2\sqrt{2}\)
Tìm GTNN của P=\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MN
0
RH
15 tháng 1 2022
Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:
\(a+b+c\le\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt{3.3}=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(A=\sum{\dfrac{1}{\sqrt{1+8a^3}}}=\sum{\dfrac{1}{\sqrt{(2a+1)(4a^2-2a+1)}}} \\\ge\sum{\dfrac{1}{\dfrac{4a^2+2}{2}}}=\sum{\dfrac{1}{2a^2+1}} \)
Ta cần chứng minh: \(\dfrac{1}{2a^2+1}\ge\dfrac{-4}{9}a+\dfrac{7}{9} \\<=>\dfrac{8a^3-14a^2+4a+2}{9(2a^2+1)}\ge0 \\<=>\dfrac{2(a-1)^2(4a+1)}{9(2a^2+1)}\ge0 (luôn\ đúng\ với\ mọi\ a>0) \\->\sum{\dfrac{1}{2a^2+1}}\ge\dfrac{-4}{9}(a+b+c)+\dfrac{21}{9}\ge\dfrac{-4}{9}.3+\dfrac{21}{9}=1 \\->A\ge1 \)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy GTNN của A là 1 (khi a = b = c = 1).
VG
0
A
Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn \(a+b\le1\) . Tìm GTNN của
\(A=\dfrac{1}{1+a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\)
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 5 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{6ab}+\frac{1}{3ab}\geq \frac{4}{1+a^2+b^2+6ab}+\frac{1}{3ab}\)
\(=\frac{4}{1+(a+b)^2+4ab}+\frac{1}{3ab}\geq \frac{4}{1+1+4.\frac{1}{4}}+\frac{1}{3.\frac{1}{4}}=\frac{8}{3}\)
Vậy $A_{\min}=\frac{8}{3}$ khi $a=b=\frac{1}{2}$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
Đây là bài IMO 2001 và không cần điều kiện \(a+b+c=1\)
Áp dụng Holder:
\(P.P.\left[a\left(a^2+8bc\right)+b\left(b^2+8ac\right)+c\left(c^2+8ab\right)\right]\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow P^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{a^3+b^3+c^3+24abc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{a^3+b^3+c^3+24abc}\)
\(\Rightarrow P^2\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3+3.2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}}{a^3+b^3+c^3+24abc}=1\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2021
\(a^2-ab+b^2=\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bạn tham khảo bài làm nhé