Question

[Quang Đẹp Trai]

Trên một đường tròn , lấy 1000 điểm phân biệt , các điểm đc tô màu xanh và đỏ xen kẽ nhau.Mỗi điểm đc gán vs một giá trị khác 0, giá trị của mỗi điểm màu xanh bằng tổng giá trị 2 điểm màu đỏ kề vs nó , giá trị mỗi điểm màu đỏ có giá trị bằng tích 2 điểm màu xanh   kề vs nó.Tính tổng giá trị   1000 điểm trên

Answer 1

[Trần Tuấn Hoàng]

- Gọi \(x_1,x_3,x_5...,x_{999}\) lần lượt là các giá trị được gắn với mỗi điểm màu xanh.

\(x_2,x_4,x_6,...x_{1000}\) lần lượt là các giá trị được gắn với mỗi điểm màu đỏ.

Giả sử điểm được gắn giá trị \(x_1\)(tạm gọi là \(đ_1\)) xen kẽ với \(đ_{1000},đ_2\) ; \(đ_2\) xen kẽ với \(đ_1,đ_3\) ; ... ; \(đ_{1000}\) xen kẽ với \(đ_{999}\) và \(đ_1\).

Ta có: \(x_3=x_2+x_4\).Mà \(x_2=x_1x_3;x_4=x_3x_5\)

\(\Rightarrow x_3=x_1x_3+x_3x_5\Rightarrow x_1+x_5=1\) (vì \(x_3\ne0\)).

Tương tự \(x_3+x_7=x_5+x_9=...=x_{997}+x_1=x_{999}+x_3=1\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_5\right)+\left(x_3+x_7\right)+...+\left(x_{997}+x_1\right)+\left(x_{999}+x_3\right)=999\)

\(\Rightarrow2\left(x_1+x_3+...+x_{999}\right)=999\Rightarrow x_1+x_3+...+x_{999}=\dfrac{999}{2}\)

Mặt khác: \(x_1=x_{1000}+x_2;x_3=x_2+x_4;...;x_{999}=x_{998}+x_{1000}\)

\(\Rightarrow\left(x_{1000}+x_2\right)+\left(x_2+x_4\right)+...+\left(x_{998}+x_{1000}\right)=x_1+x_3+...+x_{999}\)

\(\Rightarrow2\left(x_2+x_4+...+x_{1000}\right)=\dfrac{999}{2}\)

\(\Rightarrow x_2+x_4+...+x_{1000}=\dfrac{999}{4}\)

Vậy tổng giá trị 1000 điểm trên là \(\dfrac{999}{2}+\dfrac{999}{4}=\dfrac{2997}{4}\)