Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:P=x^2 + 2y^2 +2xy-6x-8y+2024
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2021
\(1\ge x+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)
\(P=\dfrac{1-\dfrac{2y}{x}+2\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{1+\dfrac{y}{x}}\)
Đặt \(\dfrac{y}{x}=a\ge4\Rightarrow P=\dfrac{2a^2-2a+1}{a+1}=2a-4+\dfrac{5}{a+1}\)
\(P=\dfrac{a+1}{5}+\dfrac{5}{a+1}+\dfrac{9}{5}.a-\dfrac{21}{5}\ge2\sqrt{\dfrac{5\left(a+1\right)}{5\left(a+1\right)}}+\dfrac{9}{5}.4-\dfrac{21}{5}=5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=4\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
20 tháng 3 2021
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên làm thế nào để có thể nghĩ được ra như vậy?
HN
0
TT
2
11 tháng 5 2018
\(P=x^2+2y^2+2xy-6x-8y+2027\\ =\left(x^2+y^2+9+2xy-6x-6x\right)+\left(y^2-2y+1\right)+2017\\ =\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+2017\)
Do \(\left(x+y-3\right)^2\ge0\forall x;y\)
\(\left(y-1\right)^2\ge0\forall x;y\)
\(\Rightarrow\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x;y\\ \Rightarrow\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+2017\ge2017\forall x;y\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y-3\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-3=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3-y\\y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(P_{\left(Min\right)}=2017\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)
12 tháng 2 2018
P = x2+2y2 +2xy-6x-8y+2027
=x2+2xy+y2+y2-6x-6y-2y+1+9+2017
=(x2+2xy+y2)-(6x+6y)+9+(y2-2y+1)+2017
=(x+y)2-6(x+y)+9+(y-1)2+2017
=[(x+y)2-6(x+y)+9]+(y-1)2 +2017
=(x+y-3)2+(y-1)2+2017
Do (x+y-3)2 \(\ge0\forall x\)
(y-1)2 \(\ge0\forall x\)
=>\(\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)
=>\(\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+2017\ge2017\)=> P\(\ge2017\)
Min P=2017 khi
y-1=0
=> y=1
x+y-3=0
=>x+1-3=0
=> x=2
Vậy GTNN của P=2017 khi y=1 và x=2
9 tháng 1 2019
\(P=x^2+2y^2+2xy-6x-8y+2024\)
\(P=x^2+y^2+y^2+2xy-6x-6y-2y+2024\)
\(P=\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(6x+6y\right)+9+y^2-2y+1+2014\)
\(P=\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)3+3^2+\left(y^2-2y+1\right)+2014\)
\(P=\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+2014\)
\(P\ge2014\forall x;y\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y-3=0\\y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}}\)
Vậy.....
LV
3
23 tháng 5 2019
P = x2 + 2y2 + 2xy – 6x – 8y + 2028
P = (x2 + y2 + 2xy) – 6(x + y) + 9 + y2 – 2y + 1 + 2018
P = (x + y – 3)2 + (y – 1)2 + 2018 \(\ge\) 2018
=> Giá trị nhỏ nhất của P = 2018 khi x = 2; y = 1
23 tháng 5 2019
P=x2+2y2+2xy-6x-8y+2028
=x2+2xy+y2+y2-8y+x2-6x-x2+2028
=(x2+2xy+y2)+(y2-8y+16)+(x2-6x+9)-x2+2028-16-9
=(x-y)2+(y-4)2+(x-3)2-x2+2003\(\ge2003\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-4\right)^2\ge0\\\left(x-3\right)^2\ge0\\x^2\ge0\end{matrix}\right.\) nên:
Để P=2003 thì :
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2=0\\\left(x-3\right)^2=0\\\left(y-4\right)^2=0\\x^2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-3=0\\y-4=0\\x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x=3\\y=4\\x=0\end{matrix}\right.\)
Vậy min P=2003\(\Leftrightarrow\left(x=y\right)\in\left\{0;4;3\right\}\)
BM
0
Giải :(x2+2xy+y2)+y2-6x-8y+2024=(x+y)2-2(x+y)3+y2-2y+2024
=(x+y-3)2+(y2-2y+1)+2014=(x+y-3)2+(y-1)2+2014 >=2014
vì (x+y-3)2;(y-1)2>=0 với mọi x;y
nên Pmin=2014khi y=1;x=2
MinP=2024 nha!